Concepto de factorización Casos de factorización

Sede:      MAJAGUAL                                                                                                        

Docente: OMAR NAIZZIR CH.

Jornada: MATINAL

Área/Asignatura/Dimensión: MATEMÁTICA

Grado: 8°B-C-D-E

Competencias argumentativas: 

Identificar los casos de factorización.

Realizar descomposiciones factoriales.

Temas Y Subtemas:

• Concepto de factorización
• Casos de factorización

Nombre del estudiante:

Fecha de inicio: 22 de septiembre de 2020

Fecha de finalización: 1 de octubre de 2020

 FACTORIZACIÓN

CONCEPTO: Factorizar o factorar una expresión matemática significa expresarla mediante el producto de dos o más expresiones denominadas factores.

Ejemplos:

  9 = (3) (3)                15 = (3) (5)            20 = (2) (2) (5) = (22) (5)

  X2  – Y2    =  (X + Y) (X – Y)

En algebra es de mucha utilidad poder factorizar algunos polinomios; esto se puede hacer                   con algunos polinomios siguiendo reglas especiales, contempladas en los siguientes casos:

CASO I: FACTOR COMÚN MONOMIO

Este caso se aplica cuando los coeficientes de los términos del polinomio tienen un factor común diferente de 1, y/o cuando los términos del polinomio tienen variables o letras comunes.

Ejemplos:

4x3  –  8x2  + 2x = 2x (2x2  – 4x  + 1)

5x + 10y = 5 (x + 2y)

3m + 5mn = m (3 + 5n)

10a2  – 5a  + 15a3   = 5a (2a  – 1 + 3a2)

10b2 – 30ab = 10b (b – 3a)

Como se puede observar en los anteriores ejemplos, el factor común es un monomio cuyo coeficiente es el máximo común divisor de los coeficientes de los términos del polinomio, y la parte literal está formada por las variables comunes con su menor exponente.

CASO II: FACTOR COMÚN POLINOMIO POR AGRUPACIÓN

En algunos casos, en el polinomio que se busca factorizar no hay un monomio que sea factor común para todos los términos; pero al agruparlos por parte y factorizar, en cada grupo se obtiene un polinomio como expresión común.

Ejemplos:

am + bm + an + bn =  [am + bm] + [an +bn] =  m [a + b] + n [a +b] = [a + b] [m + n]  

3m2 + 4m  – 6mn – 8n = [3m2 + 4m] – [6mn + 8n] =  m [3m + 4] – 2n [3m + 4] =

[3m + 4] [m – 2n]

TALLER 1

Factorizar

• 3xy2 + 9x2y – 6x2y2       =   
• 15m3n4 + 3m3n5 – 12m3n6 x =
• – 13am3 + 11a2m2 +10am5 =
• 14a6b3 + 21a5b4 – 49a4b5 =
• 35m2n3  – 70m3 =
• x – x3  + x4  – x6 =
• 2,5x4   – 0,5x3 + 1,5x2 

CASO III: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Un trinomio, ordenado con respecto a una variable, es cuadrado perfecto cuando cumple las siguientes condiciones:

• El primero y el tercero de los términos son cuadrados perfectos y positivos.
• El segundo término es el doble producto de las raíces cuadradas del primero y del tercero de los términos; puede ser positivo o negativo.

Ejemplos:

 a2  – 2ab  + b2                                                               x2  + 2x  + 1    

 4x2  – 20xy  + 25y2                             100x10 + 60a4x5y6 + 9a8y12

Un trinomio cuadrado perfecto se factoriza de la siguiente manera:

• Se extrae la raíz cuadrada al primero y al tercer término del trinomio.
• Se separan estas raíces con el signo del segundo término del trinomio.
• El binomio obtenido se eleva al cuadrado.

Ejemplos:

a2  – 2ab  + b2   = [a – b]2

x2  + 2x  + 1 = [x + 1]2

4x2  – 20xy  + 25y2= [2x – 5y]2

100x10 + 60a4x5y6 + 9a8y12   = [10x5 +3a4y6]2

CASO IV: DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

Este caso se da cuando se tiene la sustracción de dos términos que sean cuadrados perfectos.

Ejemplos:

x2  – y2                9 – b4                1 – a6               4m2x – b8y

La diferencia de dos cuadrados perfectos se factoriza como el producto de la suma por la diferencia de sus raíces cuadradas.

Ejemplos.

x2  – y2   =  [x + y] [x – y]   

 9 – b4     =  [3 + b2] [3 – b2]   

1 – a6  =  [1 + a3] [1 – a3]

4m2x – b8y=  [2mx + b4y] [2mx – b4y]

TALLER 2

Factorizar

• 9x2  + 6x  + 1 =
• 36m2  – 60m + 25 =
• X6 + 2x3y2 + y4  =
• 16  –  m20  =
• 25a8  –  36b10  =
• a10  –  49b12  =

CASO V: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

Consiste en agregarle un término a un trinomio para convertirlo en cuadrado perfecto; para no variar al polinomio se le resta el mismo término, que debe ser un cuadrado perfecto.

El cuatrinomio que se obtiene queda conformado por un trinomio cuadrado perfecto menos un cuadrado perfecto, lo cual nos lleva a combinar los casos III y IV.

Ejemplo: Factorizar x4 + x2y2 + y4

x4 + x2y2 + y4   no es trinomio cuadrado perfecto, pero se le puede convertir sumándole x2y2; esta misma expresión se le debe restar para que no varíe.

x4  +  x2y2 + y4

     +  x2y2              – x2y2

x4 + 2x2y2 + y4  – x2y2  =

se factoriza el trinomio cuadrado perfecto

[x2 + y2]2 – x2y2

Se factoriza la diferencia de cuadrados perfectos

([x2 + y2] + xy) ([x2 + y2]  – xy)

Se destruyen los corchetes y se ordenan los polinomios

(x2 + xy + y2) (x2 – xy + y2  )

Ejemplo: Factorizar x8 + 3x4 + 4

x8 + 3x4 + 4 =

x8 + 3x4 + 4

         x4            – x4

x8 + 4x4 + 4  – x4  =

(x4 + 2)2  – x4  =

[(x4 + 2) + x2] [(x4 + 2) – x2] =

[x4 + x2 + 2  ] [x4 – x2 + 2

CASO VI: TRINOMIO DE LA FORMA  x2n  ±  bxn  ±  c

Este es un trinomio que tiene las siguientes características

• El primer término es un cuadrado perfecto y su coeficiente es 1.
• El segundo término tiene como parte literal a la raíz cuadrada del primer término, y su coeficiente puede ser cualquier número diferente de cero.
• El tercer término es independiente con respecto a los dos primeros (un número)

Ejemplos:

x2 + 5x + 6            X4 – 5x2 – 50    

m2 + 5m – 14         a2b2 – ab – 42    

a2 – 2a – 15          x4y4 – 2x2y2 – 99    

y6 – 8y3 + 15    

El trinomio de la forma x2n  ±  bxn  ±  c

Se factoriza como el producto de dos binomios que cumplen las siguientes condiciones

• Los primeros términos de estos binomios son la raíz cuadrada del primer término del trinomio.
• Los otros dos términos son dos números que sumados dan el coeficiente del segundo término del trinomio y multiplicados dan el tercer término del trinomio.

Ejemplos:

x2 + 5x + 6 = [x + 2] [x + 3]            

m2 + 5m – 14 = [m + 7] [m – 2]                  

a2 – 2a – 15  = [a – 5] [a + 3]              

y6 – 8y3 + 15  = [y3 – 5] [y3 – 3]

X4 – 5x2 – 50 = [x2 – 10] [x2 + 5]  

a2b2 – ab – 42 = [ab – 7] [ab + 6]  

 CASO VII: TRINOMIO FORMA  ax2n  ±  bxn  ±  c

Este trinomio tiene la misma forma del anterior, con la diferencia que el coeficiente del primer término es diferente de 1.

Ejemplos:

4x2 + 15x + 9      15m4 – 23m2  + 4

Estos trinomios se factorizan de la siguiente manera:

• Se multiplica y se divide al trinomio por el coeficiente del primer término.
• Al realizar la multiplicación, en el segundo término solo se indica y se invierten los coeficientes.
• Se factoriza el trinomio ubicado en el numerador, ya que es de la forma

x2n  ±  bxn  ±  c.

• Los binomios ubicados en el numerador, o solo uno de ellos,  se factorizan, aplicando el primer caso (factor común).
• Se simplifica la fracción de tal manera que se elimina el denominador.

Ejemplo:

4x2 + 15x + 9 = 4 [4x2 + 15x + 9] = 16x2 + 15[4x] + 36  = [4x + 12] [4x + 3] =

                                    4                            4                              4

4[x + 3] [4x + 3] = [x + 3] [4x + 3]

           4

Ejemplo:

15m4 – 23m2  + 4 = 15 [15m4 – 23m2  + 4] = 225m4  – 23[15m2] + 60  =

                                              15                                 15

[15m2 – 20] [15m2 – 3] = 5[3m2 – 4] 3 [5m2 – 1]  =   [3m2 – 4]  [5m2 – 1]

                15                               5 [3]

TALLER 3

Factorizar:

• x2 + 4x + 3  =              
• y2 – 9y  + 20 =          
• b2 – 2b – 35 =          
• m4 – 5m2 – 36 =
• 6x2 + 7x + 2 =
•  10n2 + 11n + 3 =

CASO VIII: CUBO PERFECTO DE BINOMIOS

Un polinomio, ordenado con respecto a una de sus variables, es un cubo perfecto de un binomio si presenta las siguientes características:

• Es un cuatrinomio.
• El primero y el cuarto término son cubos perfectos.
• El primero y el tercer término son positivos.
• El segundo y el cuarto término tienen el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos).
• El segundo término es el triple del producto del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del cuarto término.
• El tercer término es el triple del producto de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del cuarto término.

Ejemplos:

a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

a3 – 3a2 b + 3ab2 – b3

x3 + 6x2  + 12x + 8

m6 – 15m4 + 75m2 – 125

La factorización de este cuatrinomio es el cubo de la suma o la diferencia de las raíces cúbicas del primero y el cuarto término.

Ejemplos:

a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 = [a + b]3

a3 – 3a2 b + 3ab2 – b3 = [a – b]3

x3 + 6x2  + 12x + 8 = [x + 2]3

m6 – 15m4 + 75m2 – 125 = [m2 – 5]3

CASO IX: SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

Este caso se tiene cuando dos cubos perfectos se están sumando o se están restando.

Ejemplos:

a3 + b3               n3 + 1     

a3 – b3          m9 – 8

• La suma de dos cubos perfectos es igual al producto de la suma de sus raíces cúbicas por el trinomio conformado por el cuadrado de la raíz cúbica del primer término menos el producto de las dos raíces cúbicas más el cuadrado de la raíz cúbica del segundo término.

Ejemplos:

     a3 + b3 = [a + b] [ a2 – ab + b2]

n9 + 1 = [n3 + 1] [ n6 – n3 + 1]

• La diferencia de dos cubos perfectos es igual al producto de la diferencia de sus raíces cúbicas por el trinomio conformado por el cuadrado de la raíz cúbica del primer término más el producto de las dos raíces cúbicas más el cuadrado de la raíz cúbica del segundo término.

Ejemplos:

     a3 – b3 = [a – b] [a2 + ab + b2]

     m9 – 8 = [m3 – 2] [m6 + 2m3 + 4]

TALLER 4

Factorizar:

• 8x6 + 27 =
• 27 – 27x + 9x2  – x3 =                           
•  m9 + 125 =
• n6 – 125 =
• 64 + m6  =
• x3 + 3x2  + 3x + 1 =

EVALUACIÓN GENERAL

Sabemos que cualquier rectángulo tiene dos dimensiones (base y altura); también sabemos que el área de un rectángulo es igual al producto de la medida de su base por la medida de su altura (A = bh).

En los ejercicios 1, 2, 3, y 4, se debe determinar las dimensiones de los rectángulos a partir del área dada

• A = 3x2 – 9x             b =                                 h =
• A = 12x2 – 8x           b =                                 h =
• A = m2 – 9                b =                                 h =
• A =   n2 – 16              b =                                 h =

Sabemos que el área de un cuadrado es igual al cuadrado de la medida de su base (A = l2).

En los ejercicios 5, y 6, determinar el lado de cada cuadrado a partir del área dada

• X2 + 6x  + 9                    L =
• 9X2  – 6x  + 1                 L =

En los ejercicios 7, y 8, determinar la dimensión faltante

• En un rectángulo, su base es m + 6 y su área es m2 + 4m – 12, entonces su altura es    h =
• En un rectángulo, su altura es y – 5 y su área es y2 – 8y + 15, entonces su base es    b =

Sabemos que el volumen de un cubo es igual al cubo de la medida de su arista (A = a3).

En los ejercicios 9, y 10, determinar el valor de la arista de cada cubo a partir del volumen dado:

• m3 + 9m2  + 27m + 27                a =
•   a6 – 6a4b  + 12a2b2 – 8b3             a =

IMPORTANTE: APRECIADOS ESTUDIANTES, TE RECUERDO LEER JUICIOSAMENTE TODO EL MATERIAL CONSIGNADO EN LA PRENSENTE GUIA CUANTAS VECES SEA NECESARIO ANTES DE REALIZAR LA EVALUACION. NO OLVIDES ANOTAR NOMBRE Y APELLIDOS EN TU EVALUACION Y ENVIARLA  A MAS TARDAR EL DIA 1 DE OCTUBRE DEL PRESENTE AÑO AL CORREO omarnaizzir2016@gmail.com.

OJO: LA EVALUACION GENERAL NO LA VAS A DESARROLLAR TODAVIA.

UN FUERTE ABRAZO PARA TODOS

LIC. OMAR NAIZZIR CHAVEZ

CELULAR 314-5464369