Choque Inelastico

Hipótesis

Demostrar si en todos los choques elásticos los cuerpos salen despedidos alejándose uno del otro en sentido contrario, por ejemplo, puede que antes del choque se muevan en el mismo sentido, y después del choque seguir moviéndose en ese sentido ambos, quizá con distintas velocidades a las iniciales. Lo que se tiene que satisfacer es la conservación de la energía cinética.

Consideremos una partícula de masa m1 que lleva una velocidad u1 y que choca elásticamente con una partícula de masa m2 que está inicialmente en reposo. La segunda partícula choca a su vez, con otra partícula de masa m3 que está inicialmente en reposo.

Fijadas las masas de la primera y la tercera partícula, m1 y m3, nuestra tarea va a se la de encontrar la masa de la segunda partícula m2 que hace que la velocidad final v3 de la tercera partícula sea máxima. La segunda partícula actúa de agente que transfiere velocidad (energía) de la primera a la tercera partícula. Se tratará de investigar qué masa deberá tener esta partícula para que la transferencia de energía sea máxima.

Choque elástico de dos partículas

En la página titulada “choques frontales” estudiamos como caso particular, el choque elástico entre dos partículas. En este caso, la primera partícula lleva una velocidad u1 y la segunda está inicialmente en reposo u2=0.

1 Principio de conservación del momento lineal

m1u1 =m1v1+m2v2

2 En un choque elástico, la energía cinética inicial es igual a la final.

Resolviendo este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, obtenemos las velocidades v1 y v2 después del choque

Para un sistema de dos partículas, la máxima velocidad que alcanza la segunda partícula es 2u1 cuando la masa de la segunda partícula m2 es muy pequeña comparada con la masa de la primera partícula m1. Lo podemos apreciar mejor si escribimos v2 en función de x=m2/m1.

Cuando m1=m2 la velocidad de la primera partícula después del choque es cero v1=0, la primera partícula se detiene y la segunda partícula adquiere la velocidad (y la energía) de la primera partícula, v2=u1. Pero esta no es la máxima velocidad que puede adquirir la segunda partícula después del choque.

Choque elástico con una tercera partícula

Consideremos ahora el caso del choque entre la segunda partícula de masa m2 que lleva una velocidad u2, y una tercera partícula de masa m3 inicialmente en reposo.

La velocidad inicial u2 de la segunda partícula es la final v2 que adquiere después del primer choque

1 Principio de conservación del momento lineal

m2u2 =m2v2+m3v3

2 En un choque elástico, la energía cinética inicial es igual a la final.

Resolviendo este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, obtenemos las velocidades v2 y v3 después del choque.

Máxima transferencia de velocidad

Fijados m1 y m3, vamos a determinar la masa de la segunda partícula m2 que hace que v3 sea máximo. Para ello, derivamos v3 respecto de m2 e igualamos a cero. Después de hacer algunas operaciones se llega al siguiente resultado

Se trata ahora de comprobar que es un máximo. Para ello, calculamos la derivada segunda de v3 respecto de m2 y comprobamos que es negativa cuando se cumple la condición de extremo.

Dados las masa de las tres partículas, m1, m2 y m3, el valor máximo de la velocidad v3 de la tercera partícula después del choque vale

Llamando x al cociente entre la masa de la tercera partícula y la primera x=m3/m1

Cuando x tiende a cero, es decir, cuando la masa m3 de la tercera partícula es muy pequeña comparada con la masa de la primera partícula m1, la velocidad v3 de la tercera partícula tiende hacia cuatro veces la velocidad inicial de la primera partícula u1.

Hemos comprobado que una segunda partícula interpuesta entre la primera y la tercera, permite incrementar la transferencia de velocidad entre ambas, por medio de dos choques elásticos, entre la primera y segunda partícula, y entre la segunda y tercera partículas.

Balance energético

La energía inicial de la primera partícula es

Después del primer choque entre la primera

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