Combinatorias

Guía combinatoria

1. Existen tres caminos de la ciudad X a la ciudad Y, y dos caminos de la ciudad Y a la ciudad Z, Cuantas rutas distintas puedes seguir una persona para ir de la ciudad X a la ciudad Z pasando por la ciudad Y.

Solución

1. Por el principio multiplicativo; multiplicamos los caminos que tengo desde X a Y, con los caminos que tengo de Y a Z.

[pic 1]

[pic 2]

1. Otro método sería por el diagrama del árbol; que es de la siguiente manera:

                                 Y                     Z, Z[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

X                               Y                     Z, Z  [pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

                                 Y                     Z, Z[pic 14][pic 15][pic 16]

Son seis Z, por lo tanto son 6 rutas que se puede tomar desde la ciudad X hasta la ciudad Z, pasando por la ciudad Y.

1. ¿De cuántas maneras pueden alinearse 5 personas, en una fila para una foto?

Solución

1. Por el principio multiplicativo; multiplicamos la cantidad de personas por la cantidad de sillas que tenemos.

[pic 17]

[pic 18]

1. Otro método es por el diagrama del árbol; que es de la siguiente manera

Primera persona………….. Son 5 sillas en las que se puede sentar

Segunda persona…………. Son 5 sillas en las que se puede sentar

Tercera persona………….. Son 5 sillas en las que se puede sentar

Cuarta persona……………. Son 5 sillas en las que se puede sentar

Quinta persona……………. Son 5 sillas en las que se puede sentar

 Si sumamos las posibilidades en las que se pueden sentar estas 5 personas, sería de 25 posibilidades distintas en las que se pueden sentar cada persona.[pic 19]

1. ¿Cuántos números de cuatro dígitos pueden formarse con 1, 2, 3,4 usando cada digito una vez?

Solución

1. En esta situación nos piden saber cuántas formas distintas se puede formar un número de 4 dígitos con ciertos números. Al saber esto, entonces si nos importa el orden en las que se pueden formar estos números de cuatro dígitos. Entonces, puesto a esto, también tenemos un total de números, y un total de dígitos que se nos pide, entonces al saber todo esto estamos de acuerdo que es una situación de una variación. La ecuación de variación es la siguiente:    , ahora reemplazamos[pic 20]

  [pic 21]

.[pic 22]

1. Ordenar de menor a mayor .[pic 23]

Solución

1. [pic 24]
2. [pic 25]
3. [pic 26]

[pic 27]

1. ¿Cuántas señales puede mostrar un barco que dispone de siete banderas, y cada señal consiste en cinco banderas colocadas verticalmente en un asta?

Solución

1. Para este caso se nos señala ciertas cantidades de banderas, para colocarlas en distintas formas por las señales, por lo que si nos importaría un orden, pero como tenemos ciertos totales de cosas, estamos presente de una variación, que es de la siguiente forma:

 [pic 28]

 Señales puede mostrar un barco que dispone de siete banderas.[pic 29]

1. ¿de cuántas maneras puede ubicarse 9 estudiantes en tres habitaciones donde caben 3 estudiantes en cada una?

Solución

1. Para este caso, se necesita un análisis más amplio, en el cual se verá de cuantas maneras se podrán colocar las 9 personas en tres habitaciones, donde caben 3 estudiantes en cada una. Por esto no nos importa el orden, y con esto sabremos de inmediato que utilizaremos la fórmula de la combinatoria, pero no solo usaremos una combinatoria sino, que la usaremos para 3 casos distintos; en donde el total de los 9 estudiantes es a 3 habitaciones, de 6 estudiantes a 3 habitaciones, y por ultimo de 3 estudiantes es a 3 habitaciones. Esto es representado de la siguiente manera:

[pic 30]

¿Por qué multiplicamos? porque queremos saber todas las posibilidades en como calzar los estudiantes en 3 habitaciones, por esto usamos la letra “y”, siempre que se usa esa letra se sabrá que es multiplicación, en el caso que fuera “o” se usaría la aplicación de la adición. Entonces resolvemos.

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

Entonces ahora multiplicamos [pic 34]

[pic 35]

1. Se asignan los grados A, B, C, D o E a una clase de 5 estudiantes. ¿De cuántas maneras puede hacerse esto, si no hay dos estudiantes que reciban el mismo grado?

Solución

1. En este caso no nos importa el orden, por lo que estamos presente a una combinación, en el cual también da lo mismo si se repite o no, por lo que lo dejamos como si no se repitiera, y además hay dos estudiantes que no pueden ser del mismo grado; entonces queda de la siguiente manera:

[pic 36]

[pic 37]

1. ¿Cuántos números de 3 cifras con 0, 1, 2, 3,4, se pueden formar?

1. Sin repetición
2. Con repetición

Solución

1. Primero resolveremos la opción a), en este caso, como vimos anteriormente si nos importará el orden, y para esto también el que no se repitan. Entonces usaremos la fórmula de permutación; , pero la tercera parte de estos números empieza de 0, por lo que no serían 3 cifras sino que dos, para esto multiplicamos de esta forma:[pic 38]

[pic 39]

Por lo tanto, tenemos 80 números que se pueden formar a partir de los dígitos 0, 1, 2, 3, 4

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