Combinatoria

TÍTULO DEL TEMA: II análisis combinatoria

II ANÁLISIS COMBINATORIO

2.1 TEOREMA FUNDAMENTAL:

Si un suceso puede tener lugar de m maneras distintas y cuando ocurre una de ellas se puede realizar otro suceso inmediatamente de n formas diferentes, ambos sucesos, sucesivamente, pueden ocurrir de m•n maneras distintas.

Por ejemplo: si hay 3 candidatos para la presidencia y 5 para vicepresidencia, existen 3•5=15 parejas distintas de presidente y vicepresidente.

2.2 NOTACION FACTORIAL

Las identidades siguientes muestran el significado de factorial n escrito n!

5!= 1•2•3•4•5 = 120

6!= 1•2•3•4•5•6 = 720

n!= 1•2•3•4...n

0!=1 por definición.

2.3 Variaciones de n objetos tomados de r en r

Variaciones de N elementos tomados de n en n, son los diferentes grupos que pueden formarse

con los N elementos dados, tomados de n en n, de modo que dos grupos difieren entre sí porque o

son distintos o sus elementos están en distinto orden.

V = N ⋅(N −1)⋅(N − 2)⋅...⋅(N − n +1) n

N

Variaciones con repetición de N elementos tomados de n en n, son los diferentes grupos que

pueden formarse con los N elementos dados, tomados de n en n, en los que pueden aparecer

Elementos repetidos, de modo que dos grupos difieren entre sí porque o son distintos o sus

Elementos están en distinto orden.

2.4 Permutaciones

Hay dos tipos de permutaciones:

• Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser "333".

• Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez.

1. Permutaciones con repetición

Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son:

n × n × ... (r veces) = nr

(Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la segunda elección, y así.)

Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:

10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones

Así que la fórmula es simplemente:

nr

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas

(Se puede repetir, el orden importa)

2. Permutaciones sin repetición

En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.

Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar?

Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.

Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:

16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000

Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:

16 × 15 × 14 = 3360

Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.

¿Pero cómo lo escribimos matemáticamente? Respuesta: usamos la "función factorial"

La función factorial (símbolo: !) significa que se multiplican números descendentes. Ejemplos:

• 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

• 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040

• 1! = 1

Nota: en general se está de acuerdo en que 0! = 1. Puede que parezca curioso que no multiplicar ningún número dé 1, pero ayuda a simplificar muchas ecuaciones.

Así que si quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones serían:

16! = 20,922,789,888,000

Pero si sólo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar después de 14. ¿Cómo lo escribimos? Hay un buen truco... dividimos entre 13!...

16 × 15 × 14 × 13 × 12 ... = 16 × 15 × 14 = 3360

13 × 12 ...

¿Lo ves? 16! / 13! = 16 × 15 × 14

La fórmula se escribe:

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas

(No se puede repetir, el orden importa)

Ejemplos:

Nuestro "ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16" sería:

16! = 16! = 20,922,789,888,000 = 3360

(16-3)! 13! 6,227,020,800

¿De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas?

10! = 10! = 3,628,800 = 90

(10-2)! 8! 40,320

(que es lo mismo que: 10 × 9 = 90)

2.5 Combinaciones de n objetos tomados de r en r

Combinaciones

También hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa):

• Se puede repetir: como

...