Conicas

Introducción

Las figuras cónicas se pueden obtener como intersección de una superficie cónica con un plano. La importancia fundamental de las cónicas radica en su constante aparición en situaciones simples.

Las Cónicas de Apolonio de Pergamo (262 – 190 A.C) se constaban de ocho libros. Esta obra es el resultado de estudiar las secciones de un cono a las que denomino cónicas. Apolonio descubrió que se obtenían al cortar mediante una superficie plana un cono circular en diversas posiciones. Depende de cómo se corten, las secciones resultantes serán círculos, elipses, hipérbolas o parábolas.

Las cónicas son curvas que tienen propiedades interesantes y las podemos descubrir en multitud de objetos y situaciones. Las elipses corresponden con la trayectoria de los planetas. Las parábolas están en las trayectorias de los cuerpos sometidos a la gravedad, en los espejos de los faros o en los perfiles de las antenas, que aprovechan los rayos paralelos al eje de una parábola que son reflejados por la superficie parabólica y concentrada a sus focos.

Las Cónicas

El nombre de cónicas proviene de cada una de estas curvas es el resultado de cortar o intersectar un cono con un plano. Dependiendo de la inclinación de dicho plano respecto al cono, el resultado será una curva u otra.

Una sección cónica es cualquier curva producida por la intersección de un plano y un cono recto triangular. Dependiendo del Angulo del plano relativo al cono, la intersección puede ser:

Un circulo

Una elipse

Una hipérbola

Una parábola

Origen de las cónicas

Las Cónicas de Apolonio de Pergamo (262 – 190 A.C) se constaban de ocho libros. Esta obra es el resultado de estudiar las secciones de un cono a las que denomino cónicas. Apolonio descubrió que se obtenían al cortar mediante una superficie plana un cono circular en diversas posiciones. Depende de cómo se corten, las secciones resultantes serán círculos, elipses, hipérbolas o parábolas. Aunque estos conceptos no tuvieron posibilidad de ser aplicados a la ciencia de su época, su importancia ha quedado plenamente justificada con el paso del tiempo. Fermat y Descartes, en una de las primeras aplicaciones de la Geometría Analítica (Fermat y Descartes se pueden considerar los fundadores de la Geometría Analítica), retomaron el problema llegando a su casi total estudio, haciendo siempre la salvedad de que no manejaban coordenadas negativas, con las restricciones que esto impone. La contribución de cada uno reside esencialmente en el reconocimiento de que una ecuación dada con dos incógnitas puede considerarse como la determinación de una curva plana con respecto a un sistema de coordenadas. El estudio analítico de Descartes ofrece un aspecto puramente algebraico y se sirve de las ecuaciones de las cónicas para deducir propiedades referentes a las curvas y a su construcción geométrica. Por otro lado, Fermat deduce las ecuaciones de la recta, la circunferencia y todas las secciones cónicas.

Las Parábolas

Una parábola es una curva abierta, producida por la intersección de un cono circular recto y un plano paralelo a algún elemento del cono.

La parábola es un conjunto de puntos que está a la misma distancia de un punto, su foco y una recta fija su directriz. El vértice y el foco determinan una línea perpendicular a la directriz, a esta línea se le conoce como eje de la parábola.

Los elementos de la parábola son:

El foco

La directriz

El radio vector

El parámetro

El eje de la parábola

El vértice

Ecuación General de la Parábola

Una ecuación general de segundo grado, que carece del termino (xy) y en el cual se cumple que: A= 0; C≠0 y D≠0, representa una parábola cuyo eje es paralelo al eje (ox).

〖Ax〗^2+〖Cy〗^2+Dx+Ey+F=0

Ecuación de la Parábola en forma Canónica

Para determinar la ecuación canónica o reducida de una parábola situemos un sistema de referencia de manera que el eje de abscisas coincida con el eje de la parábola y el origen O, con el punto medio del segmento DF, donde D es la proyección ortogonal del foco F sobre la directriz.

y^2=2px

Las

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