CÓNICAS

CÓNICAS

La circunferencia, la elipse, la parábola y la hipérbola son curvas planas que todos conocemos, sin embargo lo que no todos conocemos son sus ecuaciones formales así como su correcta definición. Por ende el objetivo de este trabajo es definir a las cónicas de manera formal, dar a conocer su respectiva gráfica y dar una ecuación general que las distinga, para así poder reconocer, por una simple ecuación, que tipo de cónica se está presentando.

Este tipo de curvas aparecieron desde la geometría griega y fueron nombradas secciones cónicas. Su nombre se debe a que en la época de Platón consideraban que tales curvas procedían de la intersección de un cono con un plano.

Apolonio de Pérgamo descubrió que las cónicas se obtenían al cortar mediante una superficie plana un cono circular en diversas posiciones. Depende de cómo se corten, las secciones resultantes serían círculos, elipses, parábolas o hipérbolas. Aunque estos conceptos no fueron aplicados en esa época, su importancia ha quedado marcada y justificada con el paso del tiempo.

Hay varias formar de estudiar a las cónicas:

• En términos de intersecciones del cono con planos.
• Como casos de ecuaciones de segundo grado con dos variables x, y.

Ax2 + Bxy + Cy2 +Dx + Ey + F = 0

• Como lugares geométricos de puntos que cumplen cierta propiedad.

En la realización de este trabajo se abarcarán las tres pues se darán sus definiciones como intersección del cono, como lugar geométrico y su ecuación general. Por otro lado se dará el dibujo correspondiente a su gráfica.

Las secciones cónicas son curvas que pueden obtenerse al cortar o intersectar un cono circular con un plano (no debe contener al vértice del cono). Las distintas cónicas aparecen dependiendo de la inclinación del plano respecto del eje del cono. Existen 3 secciones cónicas básicas, estas son: elipse, parábola e hipérbole. También existe la circunferencia, sin embargo esta es tomada en cuenta como un caso particular de la elipse.

• ELIPSE

Lugar geométrico de los puntos del plano P(x, y) cuya suma de distancias a dos puntos fijos (F, F’) es constante. Estos puntos fijos son llamados focos.

[pic 1]

Para su construcción en gráfico (manual), se toma un segmento de longitud 2a y se sujeta a sus extremos en los focos (F y F’), si se mantiene este segmento tirante y se va girando se obtiene una elipse.

Como cónica ésta es formada al inclinar un poco el plano que corta al cono de esta manera:

[pic 2][pic 3]

[pic 4]

Ecuación de la elipse.

Con centro en el origen:   +  = 1[pic 5][pic 6]

Con centro en (h, k):   +  = 1[pic 7][pic 8]

En donde:

a= semieje mayor. (Marca los extremos de la elipse en el eje ‘x’)

b= semieje menor. (Marca los extremos de la elipse en el eje ‘y’)

Ahora se dice que la circunferencia es un caso particular de la elipse puesto que:

 +  = c2[pic 9][pic 10]

∴ (x-y)2 + (y-k)2 = c2

Como se puede ver en realidad es la misma ecuación en donde a2= b2.  
Con centro = (h, k) [pic 11]

Entonces, se le llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. Ésta es producida por un plano que corta de manera perpendicular al eje ‘y’ del cono.

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