Conocimientos Matematicos

Los conocimientos matemáticos y la conceptualización

INTRODUCCIÓN Y MARCO TEÓRICO

Para tratar de mejorar la educación, durante varias décadas se han renovado una y otra vez los planes y programas de estudio con diferentes enfoques, se han generado múltiples nuevos libros de texto y materiales de enseñanza y se han introducido nuevas tecnologías en las aulas. A pesar de estos esfuerzos, no se ha notado un avance perceptible en el aprovechamiento de los estudiantes. Esto podrá sorprender, pero en realidad tiene una explicación muy sencilla. Estas estrategias no alteran de manera apreciable el elemento más determinante del aula: el profesor. Este artículo se centra en indagar los conocimientos que requiere el profesor en el aula (los cuales influyen directamente en su capacidad didáctica) y cómo se pueden fortalecer dichos conocimientos.

El objetivo central de la enseñanza es el desarrollo cognitivo de los estudiantes, el cual, se ha observado en investigaciones, está fuertemente correlacionado con la forma de instrucción e interacción del profesor en el aula.

Para la primera característica citada de la enseñanza, la instrucción (que se refiere a las acciones del profesor en el aula), Carpenter et al. (2000) definen cuatro modos de instrucción y creencias de los profesores, los cuales se describen brevemente a continuación.

Nivel I. Creen que se debe enseñar de manera explícita. Así, muestran procedimientos y hacen que los estudiantes los practiquen. Nivel II. Abren más su modo de enseñanza, dando a los estudiantes algunas oportunidades de resolver problemas por sí mismos. Nivel III. Aceptan que los estudiantes pueden tener sus propias estrategias de solución y, por tanto, dan a los estudiantes problemas o tareas para que éstos expongan sus procedimientos. Nivel IV. El modo de trabajo es parecido al anterior, pero se vuelve más flexible. El profesor va adaptando su instrucción de acuerdo con lo que van manifestando los estudiantes.

Para la segunda característica de la enseñanza citada, la interacción (que se refiere a la conversación profesor-alumno), Jacobs y Ambrose (2003), al investigar el efecto que tiene entrevistar a niños sobre la habilidad de cuestionamiento de los profesores para mejorar su comunicación en el aula, propusieron cuatro categorías para definir modos de interacción del profesor. i) Directivo. Su intervención es activa pero hay demasiado control y ayuda. Sus preguntas suelen inducir la respuesta correcta. ii) Observador. Su comportamiento es pasivo. Se limita a observar y a dar comentarios correctivos como "bien", "no", etc. iii) Exploratorio. Su comportamiento es activo, pero sus preguntas no son específicas (no llegan a la esencia). Por lo general sólo tienen en cuenta respuestas correctas. iv) Responsivo. El profesor va descubriendo el razonamiento de sus alumnos y procede de acuerdo con ello. Hace preguntas competentes y de extensión de ideas.

Pero, ¿qué se requiere para que un profesor de matemáticas pueda desenvolverse en los niveles más altos de instrucción e interacción? Lo primero que viene a la mente es que necesitaría un conocimiento sólido de las matemáticas y de técnicas pedagógicas. Sin embargo, esto no es suficiente, ya que, además, requeriría muchas otras habilidades y conocimientos relacionados. De acuerdo con Ball y Bass (2000), un profesor de matemáticas debe realizar cuatro actividades centrales: 1) desglosar ideas y procedimientos matemáticos; 2) escoger representaciones para mostrar ideas matemáticas; 3) analizar métodos y soluciones diferentes de las propias, y4) deducir lo que entienden sus alumnos. En el pá-rrafo siguiente se describen e ilustran estas tareas.

Lo más sustancial que un profesor tiene que hacer es dar razones y explicaciones para que sus estudiantes comprendan una idea. Para esto, requiere entender y analizar las ideas matemáticas de una manera más profunda que le permita, por ejemplo, desglosar un procedimiento o una idea para extraer los con-ceptos básicos requeridos para su comprensión. Ilustraciones concretas de esto son: entender cada uno de los pasos del procedimiento de "llevar" en el algoritmo de la resta; dar varias explicaciones de por qué (utilizando diferentes significados de la división); o saber por qué dos aumentos consecutivos de 10% de un salario no son lo mismo que un aumento único de 20%. Además, el profesor requiere un conocimiento de modelos de representación o ilustración con materiales y situaciones reales. Por ejemplo, cómo representar la operación para que quede claro su significado y cuáles situaciones reales la podrían ilustrar. El profesor necesita entender y evaluar el razonamiento de sus estudiantes, sus estrategias, métodos, explicaciones y razones. Además, debe tener la habilidad de descubrir el motivo de los errores, confusiones o dificultades de sus estudiantes.

Desde hace más de veinte años, la comunidad de educación matemática ha centrado su atención en los diferentes conocimientos interconectados que un profesor necesita utilizar en su práctica docente. El término general propuesto por Shulman (1987), "conocimiento pedagógico del contenido",1 se refiere a una mezcla compleja de conocimientos y capacidades del profesor relacionados con los contenidos que enseña, su organización en tópicos y problemas, su manera de ser presentados a los alumnos, sus diversos modelos y representaciones, sus conexiones con las concepciones y dificultades de los estudiantes. Algunos elementos de este conocimiento mixto (como los referidos en los párrafos anteriores) están conectados con más fuerza a los propios contenidos matemáticos que a su componente pedagógico; por ello, Ball y Bass les asocian el término especial de "conocimiento matemático para la enseñanza" (Mathematical Knowledge for Teaching – MKT). Sin este saber multifacético, es muy difícil que un profesor pueda atender los múltiples requerimientos de sus alumnos.

El profesor también utiliza este conocimiento matemático para la enseñanza para la planeación de secuencias didácticas de estudio, diseñadas especialmente para las habilidades y necesidades cognitivas de sus estudiantes y que pueden ser modificadas de acuerdo con el progreso y dificultades que vaya observando en ellos. Para esto, otra tarea importante del profesor es escuchar los razonamientos de sus estudiantes mediante una dinámica especial de clase en la que interactúe con ellos. Esta comunicación también requiere que el profesor utilice este conocimiento especializado para responder de manera eficaz a sus estudiantes.

Se puede percibir, de la descripción anterior sobre los diversos quehaceres y las extensas demandas al profesor, que su capacitación en esta

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