Contenido matematico

SUBOBJETIVO DE APRENDIZAJE                

“Interpretar correctamente los conceptos de Momentos y centros de masa”.

1. Momentos y centros de masa: las integrales dobles poseen múltiples aplicaciones dentro del área de la ingeniería y entre ellas están el cálculo del centro geométrico de una región plana homogénea y no homogénea, los momentos de inercia de áreas planas y el centro de masa.

1. Masa de una lámina con densidad superficial : supongamos que tenemos una lámina de región superficial R, la cual es cerrada y está sobre el plano XY , la misma posee una medida de la densidad superficial dada por la función  variable (es decir, no es homogénea), la cual varía de acuerdo a la posición del punto (x, y) sobre el cual nos encontremos posicionados, cabe resaltar acá que si es un valor fijo constante quedara sobre entendido que la densidad superficial es constante y se puede aludir a una densidad superficial homogénea, ahora bien si consideramos un elemento diferencial de lámina con coordenadas  y masa  verimaos que su densidad sería  que nos permite reescribir el diferencial de masa de este elemento como: , si particionados la superficie de la lámina de tal manera que el número de dA = dxdy tienda a infinito notaríamos que al hacer la suma de todos estos  su valor convergería a la masa total de la lámina, esto es:[pic 11][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

[pic 12]

1. Momentos de masa de primer orden () respecto a los ejes coordenados de una lámina con densidad superficial :[pic 13][pic 14]

Momento de masa i-ésimo de primer orden respecto al eje x (): se define como el producto generado por la multiplicación de un elemento diferencial de masa de posición  por la distancia que guarda este respecto al eje y, es decir, .[pic 15][pic 16][pic 17]

Momentos de masa de primer orden respecto al eje coordenado x de una lámina con densidad superficial  : Se llama momento de masa de primer orden respecto al eje coordenado x o momento de primer orden respecto al eje x al número real al cual converge la suma de todos los momentos de masa i-ésimos de primer orden respecto al eje x de una región plana cerrada R con densidad superficial de masa , es decir:[pic 18][pic 19][pic 20]

[pic 21]

Momento de masa i-ésimo de primer orden respecto al eje y(): De forma análoga al eje x se define como el producto generado por la multiplicación de un elemento diferencial de masa de posición  por la distancia que guarda este respecto al eje x, es decir, .[pic 22][pic 23][pic 24]

Momentos de masa de primer orden respecto al eje coordenados y de una lámina con densidad superficial  : Se llama momento de masa de primer orden respecto al eje coordenado y o momento de primer orden respecto al eje y al número real al cual converge la suma de todos los momentos de masa i-ésimos respecto al eje y de una región plana cerrada R con densidad superficial de masa , es decir:[pic 25][pic 26][pic 27]

[pic 28]

Observación: los momentos de masa de primer orden con respecto a los ejes coordenados son de gran utilidad al momento de determinar los centros de masa en regiones planas con densidad superficial de masa .[pic 29]

Centro de masa (centroide geométrico de masa o centro de gravedad) de una región plana con densidad superficial de masa : es el punto del plano xy sobre el cual reposa la lámina de región superficial R (coplanar), que puede estar dentro a fuera de la región R, y está definido por la expresión:[pic 30]

[pic 31]

1. Momentos de masa de segundo orden () respecto a los ejes coordenados de una lámina con densidad superficial :[pic 32][pic 33]

Momento de masa i-ésimo de segundo orden respecto al eje x (): se define como el producto generado por la multiplicación de un elemento diferencial de masa de posición  por la distancia al cuadrado que guarda este respecto al eje y, es decir, .[pic 34][pic 35][pic 36]

Momentos de masa de segundo orden respecto al eje coordenados x de una lámina con densidad superficial : Se llama momento de masa de segundo orden respecto al eje coordenado x o momento de segundo orden respecto al eje x al número real al cual converge la suma de todos los momentos de masa i-ésimos de segundo orden respecto al eje x de una región plana cerrada R con densidad superficial de masa , es decir:[pic 37][pic 38]

[pic 39]

Momento de masa i-ésimo de segundo orden respecto al eje y ():de forma análoga al eje x se define como el producto generado por la multiplicación de un elemento diferencial de masa de posición  por la distancia al cuadrado que guarda este respecto al eje x, es decir, .[pic 40][pic 41][pic 42]

Momentos de masa de segundo orden respecto al eje coordenados y de una lámina con densidad superficial  : Se llama momento de masa de segundo orden respecto al eje coordenado y o momento de segundo orden respecto al eje y al número real al cual converge la suma de todos los momentos de masa i-ésimos de segundo orden respecto al eje y de una región plana cerrada R con densidad superficial de masa , es decir:[pic 43][pic 44][pic 45]

[pic 46]

Observación: Los momentos de masa de segundo orden con respecto a los ejes coordenados son también conocidos como momentos de inercia y son un indicativo de la medida de resistencia que ofrecería la región superficial R de densidad superficial de masa al cambio de movimiento rotacional, es decir, la resistencia que ofrecería la lámina al someterla a una rotación sobre los ejes coordenados.[pic 47]

Momento polar de inercia : el momento polar de inercia es el número real que se obtiene de sumar el momentos de masa de segundo orden respecto al eje coordenados x de una lámina con densidad superficial  con el momentos de masa de segundo orden respecto al eje coordenados y de una lámina con densidad superficial , esto es:[pic 48][pic 49][pic 50]

[pic 51]

Observación: La suma momentos de masa de segundo orden con respecto a los ejes coordenados x e y es también conocidos como el momento polar de inercia y es un indicativo de la medida de resistencia que ofrecería la región superficial R de densidad superficial de masa al cambio de movimiento rotacional respecto al origen o el eje z, es decir, la resistencia que ofrecería la lámina al someterla a una rotación sobre el eje coordenado z.[pic 52]

Traslación paralela de ejes (teorema de Steiner): Es un teorema que permite calcular el momento de inercia respecto a un nuevo eje  de una región superficial de área A  o volumétrica  con densidad de masa superficial  sin necesidad de integrar nuevamente, partiendo de la inercia rotacional respecto al eje ya conocido (eje v, el cual normalmente resulta ser uno que pasa por el centroide de área, masa o volumen), la masa de la región superficial o volumétrica y la distancia “d” entre los ejes considerados ,  bajo la condición de que ambos eje (v y n) deben ser paralelos, esta condición de equivalencia se expresa como:[pic 53][pic 54][pic 55][pic 56]

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