CONTENIDO DEL DOSSIER Fundamentos Matemáticos

CONTENIDO DEL DOSSIER

Fundamentos Matemáticos

Interés Simple, Aplicaciones del Interés Simple en cuentas de ahorro y en cuentas corrientes

Descuento Bancario, Equivalencia Financiera con Descuento Bancario: Cambio de un Documento por Otro, Documento Único

Interés Compuesto: Monto y Valor Actual, Cálculo del tiempo y de la tasa de interés. Equivalencia Financiera a Interés Compuesto. Descuento Compuesto. Tasa Efectiva y Tasa Nominal, Nuda Propiedad: Valuación de Bosques: Valor Actual Neto, Tasa Interna de Retorno.

Anualidades de Imposición: Clasificación de las Anualidades: Anualidades de Imposición: Vencidas y Adelantadas, Anualidades de Imposición Variables en Razón Geométrica, Anualidades de Imposición Variables en Razón Aritmética.

Anualidades de Amortización: Sistema Francés, Sistema Americano y Sistema Comercial o Criollo

Métodos de Depreciación: Métodos Proporcionales: Directo, Del Rendimiento y Del Servicio. Métodos de Reducción Uniforme: Método de los Número Dígitos y Método de la Tasa Constante de Depreciación Métodos del Interés Compuesto: Fondo de Amortización y Fondo de Amortización con capitalización de intereses sobre el saldo.

Análisis de Reemplazo: Método del Valor Actual de los Costos VAC, Método del Costo Anual Uniforme Equivalente CAUE, Método del Costo Capitalizado Cp.

Matemáticas Actuariales: Tablas de Mortalidad, Tablas de Conmutación, Rentas Vitalicias y Seguros de Vida: Prima Neta Única y Prima Neta Anual.

Bibliografía

Tema No. 1

FUNDAMENTOS MATEMATICOS

APROXIMACIONES

Conocido también con el nombre de “redondeo” se aplica la “regla del computador” que dice:

El último digito fijado debe incrementarse en una unidad, si los que siguen exceden el valor 500… Ej. Redondear a 4 dígitos: 7,6166501 Resp. 7,6167

No debe cambiarse el último digito, si los que siguen son menores que el valor 500… Ej. Redondear a 5 dígitos: 3,5614326 Resp. 3,56143

Si los dígitos que siguen al último fijado son exactamente el valor 5 y el último es impar debe incrementarse en una unidad. Ej. Redondear a 4 decimales: 0,751450 Resp. 0,7514; 0,1937500 Resp. 0,1938

CONJUNTO DE NUMEROS NATURALES

Los números naturales son utilizados para contar y expresar una determinada cantidad.

N = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10…..∞}

La suma de números naturales, es otro número natural Ej. 3+5 = 8

La resta de números naturales no siempre tiene una solución Ej. 7 – 2 = 5

Pero 2 – 7 = ….. no existe respuesta porque el resultado tiene que ser un número natural

CONJUNTO DE NUMEROS ENTEROS

Los números enteros tienen un signo negativo o un signo positivo y el cero que no tiene signo alguno

Z = { -∞,…- 6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,… ∞}

Una operación con los números enteros tiene solución, cuando el resultado es también un número entero.

Ej. Dados los números enteros – 4 y 9; la suma será: – 4 + 9 = 5

Ej. La resta de los números enteros 2 y 7; será: 2 – 7 = – 5

Ej. Dados los números enteros 5 y – 3, la multiplicación de ambos números será: 5 * (– 3) = – 15.

VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número se define por: [a] = a, si a ≥ 0

– a, si a < 0

Ej. Hallar el valor absoluto de:

[5] = 5

[– 8] = 8

[– 3] = 3

[1 – 5] = 4

[1 – 9 + 5 – 7] =[6 – 16] = [– 10] = 10

REGLAS DE SIGNOS

Para sumar dos números del mismo signo se suman sus valores absolutos y se antepone al resultado el signo común.

7 + 3 = 10

(– 8) +(–4) = – 12

Para sumar dos números de signos contrarios, se efectúa la resta entre sus valores absolutos y se antepone el signo del número mayor.

6 + (– 2) = 4

(– 5) + 8 = 3

2 + (– 8) = – 6

(– 15) + 5 = – 10

Para multiplicar o dividir dos números del mismo signo, se multiplican o dividen sus valores absolutos y se antepone el signo positivo o simplemente se omite.

* 5 = 30

– 2 * – 4 = 8

– 20 / – 4 = 5

– 12 = 6

– 2

Para multiplicar o dividir dos números de signos diferentes, se multiplican o dividen sus valores absolutos y se antepone el signo negativo(–).

* – 5 = – 30

– 2 * 4 = – 8

– 8 / 2 = – 4

– 15 = – 5

3

CONJUNTO DE NUMEROS RACIONALES – FRACCIONES

El conjunto de números racionales esta formado por dos números enteros. Es decir si a y b son números enteros podemos formar un racional así: a / b ó a .

b

Q = { x/x = a_ ; a, b є Z y b > 0 } Entonces Q = { … - 7_ , - 5_ , - 1_ , … 1_ , 3_ , 7_ , …}

b 2 3 2 2 2 3

En un número racional a / b, el número entero a se conoce como numerador y b como denominador

Propiedades de la adición de números racionales

Propiedad interna: La suma de dos números racionales es otro número racional

Si 2_ + 3_ = 8 + 9 = _17_

3 4 12 12

Propiedad Conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma

Si 3_ + 5_ = 5_ + 3_

4 2 2 4

3 + 10 = _10 + 3_

4 4

_13_ = _13_

4 4

Propiedad Asociativa: Los sumandos se pueden asociar de diferente manera, no altera la suma.

Si _1_ + _3_ + _5_ = _1_ + _3_ + _5_

2 4 2 2 4 2

_2_+__3_ + _5_ = _1_ + _3_+_10_

4 2 2 4

_5_ +_5_ = _1_ + _13_

4 2 2 4

_5__+ 10_ = _2 + 13_

4 4

_15_ = _15_

4 4

Propiedades de la multiplicación de números racionales

Propiedad interna: El producto de dos números racionales es otro número racional

Si 2_ * _3_ = _6_ = _1_

3 4 12 2

Propiedad Conmutativa: El orden de los factores no altera el producto

Si 3_ *_5_ = 5_ *_3_

4 2 2 4

15_ = _15_

8 8

Propiedad Asociativa: Los factores se pueden asociar de diferente manera, no altera el producto.

Si _1_ * _3_ * _5_ = _1_ * _3_ * _5_

2 4 2 2 4 2

_3_ * _5_ = _1_ * _15_

8 2 2 8

_15_ = _15_

16 16

RAZON o PROPORCIONALIDAD

La razón o proporcionalidad es el cociente de dos cantidades expresadas en la misma unidad.

X / Y = q (q es la razón entre X y Y)

Ej. La razón de 3 / 9 es = 1 / 3 (estamos simplificando)

La razón de 16 / 40 es = 2 / 5

Ej. Si 20 obreros construyen 50 mts. de una carretera en 10 días, cuantos obreros se requieren para construir 1.200 mts. en 60 días?

Sol. El número de obreros es directamente proporcional a los metros que deban construirse, e inversamente proporcional al tiempo en que deban construirse. Si se designa O el número de obreros, M la cantidad de metros, T el tiempo y k a la constante, se tiene:

O = _M_ * k

T

Donde: O = 20 ; M = 50 ; T = 10, reemplazamos

20 = _50_ * k => k = 20 * 10 => k = _200_ => k = 4

10 50 50

Hallamos los obreros:

O = _M_ * k

T

O = _ 1200_ * 4 => O = 4800 => O = 80 obreros /

60 60

LA PROPORCION

Una proporción es la igualdad de dos razones.

Es decir _a_ = _c_

b d

En una proporción a y d reciben el nombre de “extremos” mientras que b y c se conocen como “medios”.

Luego, el producto de medios es igual al producto de los extremos.

a * d = b * c

Ejemplos:

La proporción de 2 es a 3 como 10 es a 15

_2_ = _10_ => si sacamos la 5ta de 10 y 15 tenemos _2_

3 15 3

Hallar x en: _x_ = _36_

4 48

X = _36 * 4_ => x = _144_ => x = 3

48 48

Luego la proporción es: _3_ = _36_

4

...