Control Robusto

Para este informe se tratará de diseñar un controlador 𝐻∞ para un brazo robótico que va girando y que parte de una posición inicial 𝑦(0)=−𝜋2 , de tal manera que sitúa un motor entre los distintos puestos de trabajo. En este caso, el robot se moverá hacia cuatro puestos posibles de trabajo (cinta, soldador, operario y un registro fotográfico). Se debe tener en cuenta la presencia de incertidumbres cuando el robot se sitúa en el puesto del operario. En este ejemplo se considerará que la inercia puede aumentar o disminuir un 2% como consecuencia de las perturbaciones externas.

II. ESPACIO DE ESTADOS

El espacio de estados sería: [𝜃̇(𝑡)𝜔̇(𝑡)]=[0100][𝜃(𝑡)𝜔(𝑡)]+[01/𝐼]𝑇 𝑦=[1001][𝜃(𝑡)𝜔(𝑡)]

A. Parámetros del sistema

Deben definirse tanto los parámetros del sistema cómo la posición de las zonas por las que pasará el brazo robótico.

Masa del robot (𝒎𝟏)

500 kg

Masa del motor (𝒎𝟐)

100 kg

Longitud del robot

2.5 m

Posición puesto cinta

−𝜋2 𝑟𝑎𝑑

Posición robot soldador

0 𝑟𝑎𝑑

Posición puesto operario

𝜋2 𝑟𝑎𝑑

Posición registro fotográfico

𝜋 𝑟𝑎𝑑

B. Cálculo de la inercia

Hay que calcular la inercia para poder definir correctamente las matrices de estado. 𝐼=13𝑚1𝐿2+𝑚2𝐿2 𝐼=50003𝑘𝑔∗𝑚2

III. DESARROLLO DE ECUACIONES

En función del desarrollo mostrado y teniendo en cuenta que 𝑘=𝑌∗𝑃 desarrollar un controlador 𝑢=𝑘𝑥(𝑡) para 𝐻∞ tal que se cumplan las siguientes condiciones:

• Cuando 𝜔(𝑡)=0 encontrar una k tal que se consiga que x(t)=0

• Para condiciones iniciales nulas x(0)=0, minimizar el efecto de las perturbaciones 𝜔(𝑡) a la salida

A. Desarrollo de la estabilidad de Lyapunov

Con el fin de garantizar la estabilidad del sistema, se hará uso de la función de Lyapunov y después se hallará una ganancia dentro de las condiciones establecidas previamente, implementando el espacio de estados en la función de Lyapunov, se espera que se cumplan las siguientes condiciones: 𝑉̇<0 𝑉̇=𝑥̇𝑇𝑃𝑥+𝑥𝑇𝑃𝑥̇ 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑃>0

Habría que reescribir la dinámica del sistema: 𝑥̇=𝐴𝑖𝑥+𝐵𝑖𝑢+𝐵𝜔𝑖𝜔

Donde 𝑢=𝑘𝑥, siendo k el valor que se desea obtener para la correcta realización de un controlador robusto, por consiguiente: 𝑥̇=(𝐴𝑖+𝐵𝑖𝑘)𝑥+𝐵𝜔𝑖𝜔

Informe Control Robusto

Autores, Florentino Carral González y Francisco Javier Molina Espelt

Universidad Loyola Andalucía

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Se debe calcular la derivada de la función de Lyapunov 𝑉̇. El

objetivo final es minimizar la función 𝑉̇ < 0, de tal manera que

pueda garantizarse la estabilidad en el sistema.

𝑉̇ = 𝑥𝑇 (𝐴𝑖 + 𝐵𝑖 𝑘)𝑇𝑃𝑥 + 𝜔𝑇𝐵𝜔𝑖

𝑇 𝑃𝑥 + 𝑥𝑇𝑃(𝐴𝑖 + 𝐵𝑖 𝑘)𝑥

+𝑥𝑇𝑃𝐵𝜔𝑖𝜔 + 𝑦𝑇𝑦 − 𝑦𝑇𝑦 + 𝛾2𝜔𝑇𝜔 − 𝛾2𝜔𝑇𝜔

Conviene simplificar la ecuación en forma de matriz. Además,

se ha simplificado parte de la ecuación de la forma 𝑦𝑇 𝑦 =

𝑥𝑇𝐶𝑇𝐶𝑥 (esta relación se ha realizado teniendo en cuenta que

𝑦 = 𝐶𝑥 y que, por lo tanto, 𝑦𝑇 = 𝑥𝑇𝐶𝑇 .

𝑉̇ = [𝑥𝑇 𝜔𝑇 ] [

(𝐴𝑖 + 𝐵𝑖 𝑘)𝑇𝑃 + 𝑃(𝐴𝑖 + 𝐵𝑖 𝑘) 𝑃𝐵𝜔𝑖

𝐵𝜔𝑖

𝑇 𝑃 −𝛾2𝐼

] [

𝑥

𝜔

]

−𝑦𝑇 𝑦 + 𝛾2𝜔𝑇𝜔 + 𝑥𝑇𝐶𝑇𝐶𝑥

A continuación, se establecerá la siguiente relación con el

propósito de simplificar el proceso de cálculo.

Ω = [

(𝐴𝑖 + 𝐵𝑖 𝑘)𝑇𝑃 + 𝑃(𝐴𝑖 + 𝐵𝑖 𝑘) 𝑃𝐵𝜔𝑖

𝐵𝜔𝑖

𝑇 𝑃 −𝛾2𝐼

]

Se considera que 𝜔(𝑡) = 0

𝑉̇ = [𝑥𝑇 𝜔𝑇 ]Ω [

𝑥

𝜔

] − 𝑦𝑇 𝑦 + 𝑥𝑇𝐶𝑇𝐶𝑥 ≤

≤ [𝑥𝑇 𝜔𝑇 ]Ω [

𝑥

𝜔

] − [𝑥𝑇 𝜔𝑇 ] [𝐶𝑇

0

] (−𝐼)[𝐶 0] [

𝑥

𝜔

]

Donde 𝑆 = [𝐶 0] y (−𝐼) = 𝐻−1.

Aplicando la Propiedad 2 se establece la siguiente relación:

𝑉̇ = [𝑥𝑇 𝜔𝑇 ](Ω − ST𝐻−1𝑆) [

𝑥

𝜔

] < 0 ↔ (Ω −

...