¿Cómo permite la heurística la resolución de problemas de trigonometría?

¿Cómo permite la heurística la resolución de problemas de trigonometría?

Este trabajo está orientado a determinar el efecto que tiene el método heurístico en el rendimiento académico en matemáticas, específicamente en el área de la trigonometría.

Tenemos un problema de trigonometría, pero a veces se nos complica demasiado la resolución de éste. Si usamos un método heurístico podemos llegar a una solución de manera eficaz, veamos el ejemplo.

En una fiesta popular se ha colgado una estrella navideña en el centro de una cuerda sujeta entre 2 postes de 12m de altura que distan entre sí 30 m. Si al tensarse las cuerdas la distancia de uno de los postes a la piñata es de 17m para ambos tensores y se sabe que la piñata tiene una altura de 1m, determina la distancia del piso a la piñata.

• Confeccionar figuras de análisis facilita la comprensión del problema.

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• Si tomamos en cuenta, además, el principio de consideración de casos especiales y revisamos el problema, nos dicen que la piñata es una estrella navideña, que, en base a la experiencia, se trata de una estrella de 6 picos.
• Separar lo dado de lo buscado, caer en la cuenta de qué es realmente lo que necesitamos y los datos que tenemos para lograrlo.
• El principio de modelación consiste en buscar una interpretación del problema dado con el fin de poder aplicar las leyes del nuevo dominio, en este caso, nos será muy útil:

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• Se trazó una línea que va de la punta de la piñata al poste, obteniendo así, una nueva figura, la cual, en éste caso, es un triángulo rectángulo. ¿Por qué trazar una línea justo donde se trazó? Simple, el problema nos pide la distancia del piso hasta donde termina la piñata, y sabemos que los postes miden 12 metros cada uno, y la piñata 1 metro más, si analizamos correctamente, llegamos a la conclusión de que, conociendo la altura del piso, hasta donde inicia la piñata, es decir, el punto donde las cuerdas la sujetan, podemos restarle la medida de la altura de la piñata, quedando como resultado la distancia del piso a la piñata.
• La heurística se trata no sólo de la utilización de un método para llegar a la solución de una problemática, sino que también nos permite usar los conocimientos previos para una rápida solución.

En este caso, analizando el esquema, notamos que del triángulo resultante tenemos las medidas dedos de sus lados, la medida de un cateto (15 metros) y la medida de la hipotenusa (17 metros), y también, que surge una nueva incógnita: la medida del cateto sobrante. Si obtenemos el valor del cateto obtendremos así el dato que necesitamos para determinar la altura del inicio de la piñata al suelo y proceder con lo demás, es decir, aplicar el principio de inducción, que consiste en llevar a la suposición de que existe una relación general a partir del análisis de una serie de resultados particulares.

• ¿Cómo podemos calcular el valor de ése cateto? Bien, sabemos que el teorema de Pitágoras nos permite calcular el valor de la hipotenusa al cuadrado mediante la suma del cuadrado de los catetos, es decir: c²= a²+b². Sin embargo, nosotros sólo contamos con el valor de un cateto y ya tenemos el valor de la hipotenusa, entonces, ¿de qué me sirve esta fórmula? Pues, podemos hacer uso del despeje y de este modo encontrar una fórmula que nos permita calcular no la hipotenusa, sino el cateto restante. Lo cual, quedaría así:

c²= a²+b²         “a²” está sumando a “b²”, por lo tanto, pasa al otro lado con su operación inversa, es decir, la resta, lo cual queda:[pic 28]

c² -a²= b²

• Ahora que tenemos despejado el cateto, podemos proceder con la utilización de números, es decir, hay que sustituir los valores dentro de la fórmula:

b²= 17m²- 15m²

• Como el resultado quedará elevado al cuadrado, y no nos piden el resultado al cuadrado, es necesario quitarlo, despejamos el exponente cuadrado, recordemos que debe pasar al otro lado con su operación inversa, o sea, raíz cuadrada, la fórmula quedaría así:

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• Ahora si podemos continuar con la operación.

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• Por lo tanto, del inicio del poste hasta el inicio de la piñata mide 8 metros, y de donde inicia la piñata al piso mide 4 metros.

12m-8m=4m

Y si a esos 4 metros le restamos la altura de la piñata, obtenemos finalmente, que la altura del piso a la piñata es de 3 metros.

4m-1m=3m

La respuesta entonces es: La distancia del piso a la piñata es de 3 metros.

Gráficamente se puede observar así:

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