¿De qué manera el álgebra booleana establece las bases para diseñar la comunicación interna de una computadora?

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Nombre de la materia

Sistemas Digitales y Periféricos.

Nombre de la Licenciatura

Ingeniería en Sistemas Computacionales.

Nombre del alumno

José Luis Pulido Silva.        

Matrícula

000013337

Nombre de la Tarea

Sistemas Digitales y Periféricos.

Unidad # 1 “Generalidades”

 ¿De qué manera el álgebra booleana establece las bases para diseñar la comunicación interna de una computadora?

Nombre del Tutor

Profr. Juan Arturo Diaz Velázquez.

Fecha

16/05/2016

Introducción.

En 1815 George Boole propuso una herramienta matemática llamada “Algebra de Boole”, luego en 1938 Claude Shannon usó ésta teoría para aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica, proponiendo que con esta álgebra era posible modelar los llamados Sistemas Digitales.

El álgebra de Boole principalmente nos habla de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional para así poder solucionar más rápidamente problemas como lo son los que tiene que ver con el ámbito de diseño electrónico. El álgebra de Boole es toda clase o conjunto de elementos que pueden tomar dos valores perfectamente diferenciados que designaremos por 0 y 1 o EN otros casos se podrá ver como v (verdadero) y f (falso) que están relacionados por las dos operaciones binarias denominadas suma (+) producto (•) la operación producto se indica generalmente mediante la ausencia de símbolo entre dos variables lógicas. Bueno aquí ya podemos tener como la base de lo que vamos a hablar y lo que queremos lograr para así que soluciones podemos llegar.

El Algebra de Boole es un sistema matemático que utiliza variables y operadores lógicos. Las variables pueden valer 0 ´o 1. Y las operaciones básicas son OR (+) y AND (·) posteriormente se definen las expresiones de conmutación como un número finito de variables y constantes, relacionadas mediante los operadores (AND y OR).  En la ausencia de paréntesis, se utilizan las mismas reglas de precedencia que tienen los operadores suma (OR) y multiplicación (AND) en el álgebra normal, aunque el Álgebra Booleana suena cómo algo muy complicado en realidad utiliza fundamentos básicos del álgebra comúnmente enseñada en niveles básicos de educación, aunque finalmente difiere de ella.

Las propiedades Booleanas nos ayudan mucho para el entendimiento de la teoría y la práctica.

1. Ambas operaciones son conmutativas es decir si a y b son elementos del algebra se verifican:

a+b =b+a

a.b =b.a

1. Dentro del algebra existen dos elementos neutros el 0 y el 1 que cumplen la propiedad de identidad con respecto a cada una de dichas operaciones.

0 +a =a 1.a =a

            C) Cada operación distributiva con respecto a la otra.

                 a. (b+c) = a. b + a. c a + (b. c) = (a + b). (a +c)

              D) Para cada elemento a del algebra existe u n elemento denominado a, tal que.

      a + a =1 a. a =0

Propiedades del Álgebra Booleana.

1. Propiedad de cierre.  Para un conjunto s se dice que es cerrado para un operador binario si para cada elemento de S el operador binario especifica una regla para obtener un elemento único de S.

Para el conjunto N = {1,2,3,4,…} es cerrado con respecto al operador binario (+) por las reglas de la adición aritmética, ya que para que cualquier elemento a,b pertenecientes a N por la operación a + b = c el conjunto de los números naturales no esta cerrado con respecto al operador binario (-) por la regla de la resta aritmética, debido a que 2-3 = -1 y 2,3 pertenecen a N pero -1 no pertenece a N.

2.  Ley asociativa. El operador binario (*) es un conjunto S es asociativo siempre que   x*y*z = x*(y*z)  para toda x, y pertenecientes a S.

3.  Ley conmutativa.  Un operador binario (*) para un conjunto S es conmutativo siempre que:
x*y = y*x  para toda x,y pertenecientes a S.

4.  Elemento identidad.  El conjunto S tendrá un elemento identidad multiplicativo “identidad (*)” en S si existe un e perteneciente a S con la propiedad e*x = x*e =e para cada x pertenecientes a S.

5.  Inversa.  El conjunto S tiene un elemento identidad (e) con respecto al operador (*) siempre que para cada x perteneciente a S exista un elemento y perteneciente a S tal que x*y=e.

6.  Ley distributiva. Si el operador (*) y el operador (.), son operadores binarios de S, (*) se dice que es distributivo sobre (.).

Siempre que:

x*(y . z) = (x*y) . (x*z)

- El operador binario (+) define la adición.
- Identidad aditiva es el cero.
- La inversa aditiva define la sustracción.
- El operador binario (.) define la multiplicación.
- Identidad multiplicativa es 1.
- Inversa multiplicativa de A es igual a 1/A define la división esto es  A * 1/A = 1
- La única ley distributiva aplicable es la de operador (.) sobre el operador +
(.) sobre (+)    a(b+c)=(a.b) +(a.c)

Para definir formalmente el álgebra de Boole se emplean postulados de Huntington.

1.
a) Cierre con respecto al operador (+)
b) Cierre con respecto al operador (.)

2.
a) Un elemento identidad con respecto al operador (+), designado por el cero x+0 =0+x=x
b) Un elemento identidad con respecto al operador (.) designado por el uno x*1=1*x=x

3.
a) Conmutativo con respecto al operador (+) : x+y = y+x
b) Conmutativo con respecto al operador (.) : x*y =y*x

4.
a) El operador (.) es distributivo sobre el operador (+) : x.(y+z) = (x.y) + (y.z)
b) El operador (+) es distributivo sobre el operador (.) : x+(x.z) = (x+y) . (x+z)

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