Deducción De La Relación Entre El Segmento Mayor Y El Segmento Menor Dentro De Una Circunferencia

Deducción De La Relación Entre El Segmento Mayor Y El Segmento Menor Dentro De Una Circunferencia.

Deduction of the Relationship Between the Major and the Minor Segment of a Circle Segment Within.

Juan pablo cardozo

1Grupo, Ingeniería en Automatización, Universidad de La Salle.

2Grupo, Ingeniería Ambiental y Sanitaria, Universidad de la Salle.

3Grupo, Ingeniería Civil, Universidad de la Salle.

Fecha práctica 25 de agosto del 2014; Fecha entrega de informe 01 de septiembre del 2014

Resumen

El objetivo general de esta práctica es deducir la relación existente entre el segmento mayor y el segmento menor que parte de una cuerda que pasa por un punto p dentro de una circunferencia. Observar que la relación entre segmento mayor y segmento menor es de tipo no lineal inversa. Dentro de los resultados que pudimos obtener al realizar esta práctica se encuentran uno de los más importantes el cual fue hallar perímetro y diámetros de incertidumbres. Se aprendio a calcular el margen de error en cada una de las diferentes prácticas que se realizaron con los circulos.

Palabras claves: diámetro, perímetro.

© 2014 Revista Colombiana de Física. Todos los derechos reservados. Formato ajustado con fin pedagógico.

Introducción

A lo largo de la historia los hombres se preguntaban de como hallar diferentes medidas para un circulo, ya sea para poder hallar la medida de ruedas, recipientes entre otras cosas. Encontraron como solución desarrolla r objetos básicos como cuerdas con el cual podían hallar el radio de objetos circulares estas tan solo fueron unas de las primeras soluciones que puedo encontrar, con el transcurso del tiempo crearon fórmulas para determinar diámetro y perímetros , con ello unificando los resultados de diferentes objetos de medición en estas. Con base en esto, lo que quisimos realizar en la práctica número dos del laboratorio fue tomar círculos de diferentes tamaños, totalmente simétricos , hacer diferentes trazos en este, observando el segmento mayor y menor al generar estas líneas , tomar la medida con una regla. Luego de haber tomado estos datos, llevarlo a un programa en el cual se pudiesen tomar los diferentes datos y unificarlos en una formula, para sacar la parte teórica del segmento mayor, y el margen de error de cada una de las mediciones tomadas en los 3 círculos de diferentes tamaños. A continuación observaremos lo que realizamos paso a paso en el laboratorio.

Marco teórico

Un modelo se puede definir como una ecuación o conjunto de ecuaciones que describen el comportamiento de algún sistema, por ejemplo, el trabajo de un reactor químico o el crecimiento de un animal. La teoría estadística dedicada a los modelos lineales en los parámetros es muy amplia, debido en gran parte a sus múltiples aplicaciones y a la fácil interpretación de los resultados obtenidos de este tipo de análisis. Sin embargo, hay fenómenos observables que no pueden ser explicados por modelos lineales, por ejemplo, el desarrollo de una teoría en la química o la física, en tales situaciones un modelo no lineal en los parámetros se puede ajustar mejor.

Hoy en día es más viable, gracias al progresivo avance de los computadores, la aplicación de modelos no lineales en fenómenos donde el conjunto de parámetros no puede expresarse en forma lineal.[1]

En matemática los fenómenos observables pueden ser como una ecuación de la forma:

Y=f(θ,Q)+ϵ (1)

Donde y es el valor medido de una o más respuestas (las variables dependientes), ϵ es el error experimental asociado con esta medida, y f(θ,Q) es una función que contiene p parámetros θ_1,…,θ_p (notado por θ) y k variables Q_1,…,Q_K.

Si en Y se asocia una sola respuesta, por ejemplo, la concentración de producto de una reacción química de primer orden, la función puede ser de la forma.

f(θ,Q)=θ_1 [1-exp⁡(-θ_2 Q) (2)

Donde Q indica el tiempo una vez que la reacción ha comenzado. Un segundo ejemplo, hace referencia al crecimiento de plantas u organismos el cual frecuentemente se representa por un modelo logístico de la forma[2].

f(θ,Q)=θ_1/(1+θ_2 exp⁡(-θ_3 Q)) (3)

Donde Q de nuevo representa el tiempo una vez que el crecimiento de la planta u organismo ha empezado.

Supuestos sobre los errores. A partir del modelo (1) si se supone: ϵ_u~N(0,σ^2 ) para u=1,…,n; con σ^2 desconocida y constante; ϵ_(u ) y ϵ_s independientes para u≠s; u,s= 1,… n; una forma de validar estos supuestos es haciendo una análisis de los residuales, los cuales en su forma más general son obtenidos por:

r_u=y_u-f(θ,Q_U ) u=1,…,n (4)

Estos n valores se representan gráficamente contra los valores de predicción.

Definición de no linealidad. En esta sección, vamos a describir un procedimiento que permite diferenciar un modelo lineal de uno no lineal en los parámetros.

Un modelo lineal se puede escribir en la forma

f(θ,Q)=∑_(i=1)^p▒θ_i g_i (Q) (5)

Para alguna función gi que depende sólo de los valores de Q pero no de los valores de θ (parámetros). Los modelos que no se pueden escribir de esta forma son no lineales en los parámetros o simplemente no lineales. Nótese que la linealidad o no linealidad del modelo se determina por la forma en que entran los parámetros al modelo y no por la forma en que entran las variables Q_1,…,Q_K. Así por ejemplo, una ecuación cuadrática en Q.

y=A+Bx+Cx^2 (6)

Dada una pareja de datos (x_0,y_0), remplazándola en la ecuación anterior quedará:

y_0=A+Bx_0+C〖x_0〗^2 (6.1)

Haciendo la diferencia entre las dos ecuaciones, se obtiene:

y-y_0=B(x-x_0 )+C(x^2-〖x_0〗^2) (6.2)

Realizando la factorización del término (x-x_0) y reorganizando los términos se llega a:

(y-y_0)/(x-x_0 )=B+C(x-x_0 )=(B+Cx_0 )+Cx (6.3)

Análisis de regresión. En algunas situaciones es evidente que un modelo lineal en todas las variables independientes es inadecuado. Por ejemplo, un modelo de regresión que predice Y, la puntuación de las preferencias en una prueba de sabor de una bebida de lima, como función lineal de x_1 (concentración de lima) y x_2(dulzura) es muy dudosa. En otros casos, los diagramas de dispersión de los datos revelan la ausencia de linealidad. Particularmente, en la regresión lineal, una gráfica ordinaria de Y contra X es adecuada.

En la regresión múltiple, el efecto de las variables entre sí puede oscurecer la ausencia de linealidad. Por esta razón, una estrategia estándar es ajustar un modelo de primer orden y después representar gráficamente los residuos de este modelo con cada variables independiente. Si un modelo más apropiado contiene, por ejemplo, un término en segundo grado x_1^2, entonces la gráfica de los residuos (ε=y_i-y ̂) contra x_1 muestra un patrón no lineal. Como el uso de primer orden elimina el efecto lineal de las otras variables independientes, las no lineales a menudo se muestran con mayor claridad en estos diagramas residuales.

Las interacciones entre las variables son más difíciles de descubrir en los diagramas de dispersión. Si x_1 y x_2 interactúan al determinar Y, hay tres variables involucradas; desafortunadamente, los diagramas tridimensionales son más difíciles de trazar e interpretar. Quizá el sentido común sea la mejor manera de determinar si hay interacciones presentes.[3]

Para el caso especial en que una de las variables independientes es una variable cualitativa representada por una o más variables ficticias (dummy), la interacción se puede descubrir trazando gráficas de los residuos (tomados de un modelo de primer orden) contra otras variables independientes. Se deberían trazar gráficas por separado para las observaciones en cada categoría de la variable cualitativa. El modelo de primer orden sin interacciones implica que estos diagramas deben ser paralelos. Si los diagramas de los residuos por separado no son más o menos paralelos, se deberían considerar la posible presencia de algún tipo de interacción.

La representación gráfica de estos residuales con respecto al valor estimado de Y, pueden producir los siguientes patrones: (ver figura 1)

Figura 1. Gráficas de los tipos de residuales

La idea de estos gráficos es averiguar si el valor medio estimado de Y está relacionado sistemáticamente con el residual al cuadrado.

En (a) se ve que no hay un patrón sistemático entre las dos variables, lo cual sugiere que posiblemente no hay heteroscedasticidad en los datos. Sin embargo las gráficas de (b) a (e) muestran patrones definidos. Por ejemplo, la figura (c) sugiere una relación lineal, mientras que (d) y (e) indican una relación cuadrática. Utilizando estas gráficas, es posible obtener curvas de mejor ajuste u orientarnos acerca del tipo de transformación que debe aplicarse a los datos a fin de mejorar el ajuste. Pueden también hacerse representaciones de los residuales versus del valor de X.

Los modelos de regresión no lineal son muy variados (ver figura 2). Algunos de estos modelos se dan a continuación:

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