Desabasto Alimenticio

FRACCIONES FACTORIALES (“ORTHOGONAL ARRAYS”)

Si el número de factores a estudiar no es reducido los Planes Factoriales Equilibrados (por ejemplo, los Planes 2K) exigen un número muy elevado de pruebas

Ejemplo: Estudio para mejorar el proceso de activación de un catalizador (para PEAD) con el fin de aumentar su productividad en el reactor

Factores potencialmente interesantes (asociados sobre todo a diferentes parámetros del perfil de temperatura en el activa¬dor): 11

Número de activaciones a realizar en un 211 = ¡2048!

SOLUCIÓN

Emplear como diseño una Fracción Factorial

En el ejemplo bastaría realizar ¡sólo 12 pruebas! (adecuada¬mente escogidas entre las 2048 posibles) para poder estimar los efectos simples de los 11 factores (Usando el "Orthogonal Array" que Taguchi" denomina L12) L12

Fracciones Factoriales: Planteamiento

* En principio un Plan 2K permite estudiar un número muy elevado de posibles efectos. Por ejemplo a partir de los 64 resultados de un diseño 26 es posible estudiar:

6 Efectos simples

15 Interacciones dobles

20 Interacciones triples

15 Interacciones cuádruples

6 Interacciones quíntuples

1 Interacción séxtuple

Cada uno de estos efectos se estima con una gran precisión, como la diferencia entre las medias de dos conjuntos de 32 observaciones cada uno.

* La mayor parte de estos 63 efectos serán inexistentes (vg. muy posiblemente todas las interacciones de orden mayor que 2 y muchas de las interacciones dobles). Además la precisión obtenida puede ser innecesariamente elevada para el estudio.

* ¿No sería posible reducir el tamaño de la experiencia, sacrificando algo la precisión y la posibilidad' de estudiar interacciol1es de orden elevado?

SOLUCION

¡Usar Fracciones Factoriales!

¿Cómo estudiar 4 factores en sólo 8 pruebas?

En principio el plan 24 completo exigiría las 16 pruebas siguientes:

Prueba A B C D

1 - - - -

2 + - - -

3 - + - -

4 + + - -

5 - - + -

6 + - + -

7 - + + -

8 + + + -

9 - - - +

10 + - - +

11 - + - +

12 + + - +

13 - - + +

14 + - + +

15 - + + +

16 + + + +

Si se desean realizar sólo 8 pruebas ¿sería una buena solución realizar sólo las 8 primeras? ¿Por qué?

Parece lógico que un requisito deseable que deben satisfacer las 8 pruebas seleccionadas es que todos los factores se hayan presenta¬do en ellas 4 veces a nivel (-) y 4 veces a nivel (+).

4 factores en 8 pruebas: una mala solución

¿Qué tal solución sería seleccionar para el experimento las pruebas 1 4 5 8 9 12 13 Y 16?

Prueba A B C D

1 - - - -

2

+ - - -

3 - + - -

4 + + - -

5 - - + -

6 + - + -

7 - + + -

8 + + + -

9 - - - +

10 + - - +

11 - + - +

12 + + - +

13 - - + +

14 + - + +

15 - + + +

16 + + + +

Como puede comprobarse todos los factores se estudian 4 veces a nivel (-) y 4 veces a nivel (+) en las 8 pruebas seleccionadas

sin embargo…

Con este diseño los efectos de los factores A v B estarían "confundi¬dos" y no sería posible saber si un efecto observado se debe a uno u otro factor ( o, incluso, si ambos efectos fueran importantes pero de orden de magnitud parecida y de signo contrario en el experi¬mento no se detectaría efecto alguno)

¡EL DISEÑO NO ES ORTOGONAL!

4 factores en 8 pruebas: una buena solución

Si se seleccionan las pruebas 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13 y 16 ¡todos los efectos simples son ortogonales entre sí y ortogonales además, a las Interacciones dobles!

Prueba A B C D

1 - - - -

2

+ - - -

3 - + - -

4 + + - -

5 - - + -

6 + - + -

7 - + + -

8 + + + -

9 - - - +

+ - - +

11 - + - +

12 + + - +

13 - - + +

14 + - + +

15 - + + +

16 + + + +

¿Cómo se han elegido estas 8 pruebas?

FRACCIONES FACTORIALES 2K-1

Permiten estudiar el efecto de K factores a 2 niveles haciendo la mitad de pruebas (2K-1) de las que exigiría un plan 2K completo.

Construcción de un Plan 2K-1 : 2 métodos equivalentes.

• Construir el Plan 2K y seleccionar sólo las pruebas que correspondan al signo + (o al -) de la interacción de orden más elevado.

• Construir el plan completo asociado a K-1 de los factores (que tendrá 2K-1 pruebas) y asociar el factor restante de la interacción entre los K-1 primeros (este es el método más cómodo)

EJEMPLO: 4 factores en 8 pruebas (Plan 2K-1)

Prueba A B C D=ABC ABCD

1 - - - - +

2 + - - + +

3 - + - + +

4 + + - - +

5 - - + + +

6 + - + - +

7 - + + - +

8 + + + + +

Al hacer D = ABC la interacción cuádruple ABCD tiene siempre signo + y no puede estudiarse en el experimento.

ABCD : “Generador de la Fracción”

Por construcción D "está confundido" (tiene siempre los mismos signos) con la interacción triple BCD. Igualmente cada uno de los restantes efectos simples estará confundido con la interacción triple entre los otros 3 factores.

Análogamente la interacción doble entre cada par de factores estará confundida con la existente entre la otra pareja de factores.

Una fracción factorial permite estudiar el efecto de K factores con menor número de pruebas que el que exigiría un Plan Factorial completo (la reducción en el número de pruebas puede ser muy importante)

a cambio de...

• No poder estudiar ciertos efectos (los generadores de la fracción que son en general interacciones de orden elevado)

• Confundir entre sí algunos efectos de los que se pueden estudiar (por ejemplo, el efecto de A con la interacción BCD o la interacción de AB con CD)

Una “buena” Fracción Factorial

• No debe confundir nunca efectos simples entre sí.

• Debería procurar no confundir efectos simples con interaccio¬nes dobles.

• A ser posible, no debería confundir tampoco interacciones dobles entre sí.

(El grado en el que es posible conseguir estos objetivos depende del nivel de fraccionamiento de la Fracción Factorial)

Regla práctica para estudiar la confusión de efectos

• Al efecto utilizado para construir la fracción (es decir, al que tiene el mismo signo en todas las pruebas) se denomina generador de la fracción. El número de letras del generador se denomina Resolución de la fracción, expresándose en número romanos.

• Los planes 2K-1 tienen un solo generador, que normalmente es la interacci6n de orden más elevado. Los planes 2K-p, cuyo número de pruebas es menor que la mitad del plan completo (por ejemplo la cuarta o la octava parte), tienen varios generadores.

• El efecto asociado al generador no puede estudiarse.

• Cualquier otro efecto está confundido con el que resulta de “multiplicar” las letras del efecto por las del generador y tachar los cuadrados.

Ejemplo: Generador ABCD (Resolución IV)

A se confunde con: A x ABCD = A2BCD -- > BCD

AB se confunde con: AB x ABCD = A2B2CD -- > CD

Etc…

De acuerdo con esta regla:

En las fracciones de resolución IV (generadores de 4 letras) los efectos simples no estarán

...