Distribución Binomial actividad.

UNIDAD II

DISTRIBUCION: BINOMIAL Y NORMAL

Distribución Binomial

Aquellos experimentos  que cumplan con ciertas condiciones, como las que se mencionan a continuación:

“a) El resultado de cada experimento puede dar lugar a una dicotomía, esto es, puede ser clasificado arbitrariamente en una de las siguientes categorías: éxito o fracaso, según se presente  o no el evento que estamos analizando.

Sea “p” la probabilidad asignada a éxito y “q” la probabilidad de fracaso, donde q = 1-p

Observe que p y q son probabilidades complementarias.

b) La probabilidad de éxito es siempre la misma para cada ensayo del experimento, es decir, es constante.

c) Cada ensayo del experimento es independiente de los demás.

d) El experimento se repite un número determinado de veces en las mismas condiciones.”

Pueden ser asociado a experimento binomial, y es posible en estos casos emplear la distribución binomial como “modelo teórico”  para estudiar dicho experimento. La distribución binomial es pues, una distribución de probabilidad de tipo discreto, usada frecuentemente como” modelo” para aquellos fenómenos cuyos resultados pueden ser clasificado cualitativamente y que debe su nombre a que sus frecuencias son proporcionales a los términos del binomio de Newton.

La probabilidad de que en “n” ensayos, el evento favorable se presente “x” veces con “n-x” fracasos, viene dado por:

 Pr(x) =     PX .qn-x         donde      n es el número de ensayo del experimento.[pic 1]

                                                              X es el número de éxito

                                                        n-x  es el numero de fracaso    y     es un numero combinatorio[pic 2]

A continuación se ilustran algunos ejercicios para la comprensión de estos conceptos.

1. Si un dado es lanzado cuatro veces, ¿Cuál es la probabilidad de que se presente exactamente un 5 dos veces?

Solución

Veamos primeramente si se cumplen las condiciones que debe reunir un experimento para asociarlo a un experimento binomial:

1. El resultado del experimento es o no un 5 por lo que es una dicotomía.
2. La probabilidad de obtener un 5 es  , probabilidad que permanece constante.[pic 3]
3. Los lanzamientos son todos independientes.
4. El experimento se repite cuatro veces.

Ya comprobada las condiciones, se pasa a obtener la probabilidad pedida haciendo uso de la formula

Pr(un 5 dos veces) =      2 2  =    [pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

1. Si un dado es lanzado cuatro veces, ¿Cuál es la probabilidad de obtener a lo sumo dos 5?

En este caso, para obtener la probabilidad pedida necesitamos contemplar una suma de términos en vez de un término único. Expliquemos esto: obtener a lo “sumo dos 5” implica no obtener ningún 5, obtenerlo una vez o dos veces. Luego, la probabilidad pedida contempla los siguientes términos:

Pr(ningún 5), pr(un 5) y pr(dos 5)

Donde                  pr(ningún 5) =  0 4  =    [pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]

                              Pr(  un  5    )   =    1 3  =    [pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

                               Pr (  dos  5   )   =   2 2  =    [pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

Y puesto q los tres sucesos son mutuamente excluyentes, las probabilidades obtenidas deben sumarse:

Pr(a lo sumo dos 5) =   +   +    =     [pic 20][pic 21][pic 22][pic 23]

Ejercicios propuestos

1. Una caja contiene dos fichas blancas y tres negras, se saca una y se repone de nuevo. Hallar la probabilidad de que en tres ocasiones sucesivas se obtengan:

1. Tres negras
2. Dos negras
3. Una negra
4. Ninguna negra

1. Si un dado es lanzado cuatro veces, ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos tres 5?

1. Wilmer Córdova llega a la conclusión que tiene una probabilidad de 0,2 de vender su producto favorito en una sola entrevista con el cliente. Si Wilmer visita 4 clientes:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que dos clientes compren su producto favorito?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos tres clientes compren?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que todos los clientes compren?

1. En un examen falso-verdadero de diez preguntas:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante no preparado obtenga las respuestas correctas por casualidad?
2.  b) Si el contestar ocho preguntas correctamente constituye el grado de aprobación, ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe?
3. c) ¿Qué probabilidad tiene de no aprobar?

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