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Distribución Binomial


Enviado por   •  9 de Octubre de 2020  •  Tareas  •  8.593 Palabras (35 Páginas)  •  73 Visitas

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Distribución Binomial


En Estadística, la Distribución Binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos independientes de Bernoulli, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.

Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y p, se escribe:

[pic 1]

La distribución Binomial es la base del test binomial de significación estadística.

Ejemplos

La siguiente situación es un ejemplo de experimento que puede modelizarse por esta distribución:

  • Se lanza un dado diez veces y se cuenta el número de tres obtenidos: X ~ B(10, 1/6)

Experimento Binomial

Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial. Este tipo de experiencias se caracteriza por estar formada por un número predeterminado n de experimentos iguales. Cada uno de los experimentos es independiente de los restantes (la probabilidad del resultado de un experimento no depende del resultado del resto). El resultado de cada experimento ha de admitir sólo dos categorías (a las que se denomina éxito y fracaso). Las probabilidades de ambas posibilidades han de ser constantes en todos los experimentos (se denotan como p y q o p y 1-p).

Se designa por X a la variable que mide el número de éxitos que se han producido en los n experimentos.

Cuando se dan estas circunstancias, se dice que la variable X sigue una distribución de probabilidad binomial, y se nota B(n,p).

Características analíticas

Su función de probabilidad está dada por:

[pic 2]

donde      [pic 3]

, siendo      [pic 4]    las combinaciones de [pic 5] en [pic 6]  ([pic 7] elementos tomados de [pic 8]en [pic 9])

Propiedades características

[pic 10]

[pic 11]

Relaciones con otras variables aleatorias

Se verifica que si [pic 12] son tales que cada una sigue una distribución Bernouilli de parámetro [pic 13], y todas ellas son independientes entre sí, entonces [pic 14]resulta ser una variable aleatoria con distribución binomial de parámetros [pic 15]. Además, si n es grande y [pic 16] es pequeño, de modo que el producto entre ambos parámetros tiende a [pic 17], entonces la distribución de la variable aleatoria binomial tiende a una Distribución de Poisson de parámetro [pic 18]

Por último, se cumple que cuando n es muy grande (n ≥ 30) la distribución binomial se aproxima a la distribución normal.

Propiedades reproductivas

Dadas n variables aleatorias  [pic 19],  tales que:

  • Todas tienen una distribución binomial;
  • Todas tienen el mismo parámetro [pic 20];
  • Cada una tiene su propio parámetro [pic 21] (es decir, los n no necesariamente tienen que ser iguales);
  • NO son TOTALMENTE independientes entre sí;
  • Se toma la variable aleatoria     [pic 22];
  • Se toma    [pic 23];

Entonces:

La variable aleatoria Y tiene una distribución Binomial, con parámetros [pic 24] y [pic 25].

Por lo tanto, dadas n variables binomiales independientes, de parámetros ni ,  i = 1, ..., n y [pic 26], su suma es también una variable binomial, de parámetros n1 + ... + nn  y  [pic 27].

Distribución binomial

Función de probabilidad
[pic 28]

                           

                      Función de distribución de probabilidad


[pic 29]

Parámetros

[pic 30] número de ensayos (entero)
[pic 31]probabilidad de éxito (real)

Dominio

[pic 32]

Función de probabilidad (fp)

[pic 33]

Función de distribución (cdf)

[pic 34]

Media

[pic 35]

Mediana

Uno de [pic 36]

Moda

[pic 37]

Varianza

[pic 38]

Coeficiente de simetría

[pic 39]

Curtosis

[pic 40]

Entropía

[pic 41]

Función generadora de momentos (mgf)

[pic 42]

Función característica

[pic 43]

...

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