ECUACION FUNDAMENTAL. FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Enviado por Cristian Rosas • 4 de Diciembre de 2016 • Apuntes • 1.478 Palabras (6 Páginas) • 439 Visitas
Ecuacion fundamental:
[pic 1]
FUNCIONES HIPERBÓLICAS
En ciertas ocasiones las combinaciones de ex, e-x aparecen frecuentemente. En tales ecuaciones, se acostumbra escribir el modelo matemático que le corresponde utilizando las funciones hiperbólicas definidas como sigue:
La función f: [R![R, definida por:
- f(x) = senh x = , x " R, se denomina función seno hiperbólico.
- f(x) = cosh x = , x " R, se denomina función coseno hiperbólico.
- f(x) = tgh x = , x " R, se llama función tangente hiperbólico.
- f(x) = cotgh x = , x " 0, se llama función cotangente hiperbólico.
- f(x) = sech x = , x " R, se llama función secante hiperbólico.
- f(x) = cosch x = , x " 0, se llama función cosecante hiperbólico.
Con la ayuda de las derivadas y los límites para hallar los extremos, concavidades y asíntotas, se pueden graficar estas funciones fácilmente. Su gráficos se muestran en las siguientes figuras.
* gráfica de y = sh x
[pic 2]
La función shx crece muy rápidamente hacia infinito , tanto en el eje positivo como en el negativo (hacia infinito negativo). |
* gráfica de y = ch x
[pic 3]
La función chx crece muy rápidamente tanto en el eje positivo como el negativo hacia infinito positivo. |
* gráfica de y = th x
[pic 4]
La función y = thx tiene por asíntota y=1 en el infinito positivo, y por asíntota y=-1 en el infinito negativo. |
gráfica de y = ctgh x
[pic 5]gráfica de y = sech x
[pic 6]
gráfica de y = coseh x
[pic 7]
Considerando las definiciones de cada una de las funciones hiperbólicas, se puede mencionar algunas propiedades tales como:
- senh(x) = 0 ! x = 0, cosh(x) = 1 ! x
- son funciones impares, [f(-x) = - f(x)] y por tanto sus gráficas son simétricas respecto al origen, las funciones:
- f(x) = senh x ; f(x) = tgh x; f(x) = cotgh x; f(x) = cosch x
- Son funciones pares, [f(-x) = f(x)] y por tanto sus gráficas son simétricas respecto al eje y, las funciones:
- f(x) = cosh x; f(x) = sech x
- De las definiciones se seno hiperbólico y coseno hiperbólico los valores de estas funciones están relacionados a las coordenadas de los puntos de una hipérbola equilátera, de manera similar a la que los valores de las correspondientes funciones trigonométricas están relacionadas a las coordenadas de los puntos de una circunferencia.
[pic 8]
[pic 9]
Algunas relaciones:
[pic 10]
Las funciones hiperbólicas inversas:
Las funciones inversas de sinh x, cosh x, tanh x, son, respectivamente llamadas "argumento seno hiperbólico", "argumento coseno hiperbólico" y "argumento tangente hiperbólica" (NOTA: algunos autores las llaman "arco seno hiperbólico", "arco coseno hiperbólico" y "arco tangente hiperbólica"):
y = arg sinh x (función inversa de y = sinh x) ,
y = arg cosh x (función inversa de y = cosh x) ,
y = arg tanh x (función inversa de y = tanh x) .
De cualquier manera cada una de estas tres funciones tiene otra forma analítica más manejable:
Por ejemplo, para la primera de ellas, podemos partir de:
[pic 11]
despejar x:
[pic 12]
por lo tanto, la función inversa del seno hiperbólico, y = arg sinh x, puede también ser expresada:
[pic 13]
en definitiva, las tres funciones hiperbólicas inversas son:
[pic 14]
Cuyas gráficas son:
SENO HIPERBÓLICO INVERSO
[pic 15]
SENO HIPERBÓLICO INVERSO
DOMINIO : Reales
RANGO : Reales
COSENO HIPERBÓLICO INVERSO
[pic 16]
COSENO HIPERBÓLICO INVERSO
DOMINIO : ( 1, oo)
RANGO : Reales
TANGENTE HIPERBÓLICA INVERSA
[pic 17]
TANGENTE HIPERBÓLICA INVERSA
DOMINIO : ( -1, 1)
RANGO : Reales
SECANTE HIPERBÓLICA INVERSA
[pic 18]
SECANTE HIPERBÓLICA INVERSA
DOMINIO : ( O, 1)
RANGO : Reales
COSECANTE HIPERBÓLICA INVERSA
[pic 19]
COSECANTE HIPERBÓLICA INVERSA
DOMINIO : ( -oo, 0) ( 0, oo)
RANGO : ( -oo, 0) ( 0, oo)
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