EL MÉTODO AXIOMÁTICO

EL MÉTODO AXIOMÁTICO

INTRODUCCIÓN

Uno de los aspectos fundamentales en cualquier interpretación rigurosa de la realidad es la coherencia interna de la explicación. Es conveniente atender a este aspecto con toda la claridad que sea posible. La lógica se ocupa del estudio de las formas correctas de pensar y sirve, por tanto, no sólo para comprobar la validez formal de los argumentos, sino que permite también la elaboración formalmente rigurosa de las explicaciones teóricas.

En la medida en que las ciencias procuran interpretar la realidad física sin depender excesivamente de implícitos no controlables, y en que la realidad que estudian es compleja y difícil de comprender intelectualmente; necesitan aumentar el control sobre las propias formulaciones teóricas. Este dominio debe ejercerse en dos campos principales: el significado estricto de las nociones que emplea, y la validez formal de las teorías y leyes en que las ordena.

El método que permite dar cumplimiento a estas necesidades es el de la axiomatización. Es aplicable en toda su pureza en las llamadas ciencias formales: lógica y matemáticas, pero proporciona grandes ventajas en la física, y sigue siendo el ideal en otras ramas del saber.

No es posible alcanzar un control objetivo absoluto acerca del saber: tenerlo todo explicitado sin presupuestos. No cabe alcanzar un dominio total de la objetividad. Pero sí merece la pena que lo objetivable se exprese del modo más claro y formalmente riguroso que pueda alcanzarse, conscientes de las limitaciones inherentes al intento y de la necesidad de presupuestos no sistematizables para que el conocimiento pueda cumplirse.

El conocimiento humano puede dividirse en inmediato i mediato. Todo posible conocimiento debe alcanzarse desde aquel que ya se posee, y el modo de poseer con claridad objetiva lo que se sabe se apoya en la posibilidad de expresarlo mediante enunciados con sentido.

Así pues, lo que se desconoce directamente habrá de poderse concluir desde los enunciados conocidos, con la ayuda de una regla que nos permita comprender su validez. El proceso avanza desde las premisas hacia la conclusión, según las reglas válidas de la demostración.

SISTEMAS AXIOMÁTICOS

La idea de axiomatizar un campo del saber está presente en Aristóteles, y la matemática, gracias a Euclides, es el primer saber que se organiza de este modo. Los modernos intentaron extender el procedimiento a otros campos, y la lógica y la física se axiomatizan. El interés por la axiomatización ha crecido en la época contemporánea.

Axioma procede de Axiou "valor positivo", "reconocimiento de la validez". Indica un Principio – en forma de proposición- para otros enunciados que se deducen de él. Antiguamente se consideraba que los axiomas debían ser enunciados evidentes, seguros y con prioridad ontológica, modernamente se han variado estas exigencias. Un sistema axiomático, pues, contiene dos clases de enunciados: los axiomas, y los enunciados deducidos de ellos.

En la axiomatización se acomete por separado la sistematización de los significados (expresiones) y la de la formalidad estructural (enunciados). El primer orden es el de las nociones y su definición, el segundo el de la “gramática” que concreta las formas correctas de relacionar los términos.

Modernamente se exigen estas condiciones para un sistema axiomático:

1. Constituido por un sistema formalizado de signos, cuyo significado o interpretación no forma parte del sistema. La formalización permite deducir de modo mecánico –cálculo- sin necesidad de “interpretar” los signos, sino apoyándose en las reglas.

2. Los axiomas se definen exclusivamente por no ser deducibles en el sistema, no por su evidencia.

3. Los axiomas son leyes y las reglas son indicaciones acerca de cómo proceder.

4. Con el formalismo y la distinción entre leyes y reglas, no se habla de deductibilidad si no es en el seno del un determinado sistema.

5. Junto con el sistema de los enunciados se formula el sistema de las expresiones con sentido.

En la construcción de un sistema axiomático de enunciados se procede así:

1. Se eligen los enunciados que valen como axiomas y se incorporan sin demostración.

2. Se

...