Ecuaciones Diferenciales

1.1.3 Problema del valor inicial

A menudo nos interesa resolver una ecuación diferencial sujeta a condiciones prescritas, que son las condiciones que se imponen a y(x) o a sus derivadas. En algún intervalo I que contenga a x0, el problema:

Resolver:

Dny dxn= f(x,y,y0,...,yn-1) (1.6)

Sujeto a:

y(x0) = y0,y0(x0) = y1,...,y(n-1)(x0) = yn-1,(1.7)

En donde y0, y1, . . . , yn−1 son constantes reales especificadas arbitrariamente, se llama problema de valor inicial. Los valores dados de la función desconocida, y(x), y sus primeras n − 1 derivadas en un solo punto

x0:y(x0) = y0,y 0 (x0) = y1,...,y (n-1)(x0) = yn-1,se llaman condiciones

Iniciales.

Problemas de valor inicial de primero y segundo orden.

El problema enunciado con (1.6) y (1.7) también se denomina problema de valor inicial de enésimo orden; por ejemplo,

Resolver:

Dy dx = f(x,y) (1.8)14

Ampliación de Matemáticas

Sujeto a: y(x0) = y0

Resolver:

d2y dx2= f(x,y,y0) (1.9)

Sujeto a:

y(x0) = y0,y0(x0) = y1

Son problemas de valor inicial de primero y segundo orden, respectivamente.

Son fáciles de interpretar en términos geométricos. Para la ecuación (1.8) estamos buscando una solución de la ecuación diferencial en un intervalo I que contenga a x0, tal que una curva de solución pase por el punto prescrito (x0, y0)

Para las ecuaciones (1.9), deseamos determinar una solución de la ecuación diferencial cuya gráfica no sólo pase por (x0, y0), sino que también pase por ese punto de tal manera que la pendiente de la curva en ese lugar sea y1.

El término condición inicial procede de los sistemas físicos en que la variable independiente es el tiempo t y donde y(t0) = y0, y y0(t0) = y1 representan, respectivamente, la posición y la velocidad de un objeto en cierto momento tiempo inicial t0.

Ejemplo 1.2.1 Se comprueba que y = cex es una familia mono paramétrica

de soluciones de la ecuación y

0 = y, de primer orden, en el intervalo

(−∞, +∞). Si especificamos una condición inicial, por ejemplo, y(0) = 3, al sustituir x = 0, y = 3 en la familia, se determina la constante 3 = ce0 = c; por consiguiente, la función y = 3ex es un a solución del problema de valor

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