Ecuaciones Diferenciales

Introducción[editar]

Por ejemplo se considera la ley, apoyada en experiencias, de que el radio se desintegra a una velocidad proporcional a la cantidad de radio presente, hecho que se describe mediante la ecuación

\frac{dQ}{dt} = kQ , Q la cantidad de radio es función del tiempo t; de modo que Q = Q(t). 2

Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye expresiones o términos que involucran a una función matemática incógnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:

\,y'= 2xy + 1

es una ecuación diferencial ordinaria, donde \,y representa una función no especificada de la variable independiente \,x, es decir, \,y=f(x), y'=\frac{dy}{dx} es la derivada de \,y con respecto a \,x.

La expresión \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y}=0

es una ecuación en derivadas parciales.

A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace).

Orden de la ecuación[editar]

El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se denomina orden de la ecuación. Ejemplos:

Orden 1: y' + y(x) = f(x)

Orden 2: y''+ 4y =0

Orden 3: xy''' - 2xy'' + 4y' = 0

Grado de la ecuación[editar]

Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación esté en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.

Ecuación diferencial lineal[editar]

Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma \, a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \dots + a_1(x)y' +a_0(x)y=g(x), es decir:

Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.

En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.

Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.

Ejemplos:

\,y'= y es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones y = f(x) = k \cdot e^x , con k un número real cualquiera.

\,y'' + y = 0 es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones y = f(x) = a \cos (x) + b \sin (x)\,, con a y b reales.

\,y'' - y = 0 es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones \,a \cdot e^x+b \cdot 1/(e^x), con a y b reales.

Usos[editar]

Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía.

En dinámica estructural, la ecuación diferencial que define el movimiento de una estructura es:

\mathbf{Mx}''(t)+ \mathbf{Cx}'(t)+\mathbf{Kx}(t)=\mathbf{P}(t) \,

Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que describe la rigidez de la estructura, x es vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica tiempo. Esta es una ecuación de segundo orden

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