Ecuaciones Diferenciales

CAPITULO 1.

Ecuaciones diferenciales y Modelos de Primer Orden.

¿Cuántas toneladas de pescado se pueden pescar cada año sin exterminar la población de peces? ¿Cuándo se duplica la dosis de un medicamento contra el resfriado, se mantiene despierto en la clase de matemáticas? ¿Tarda mas una bola en subir que en bajar?. En este capitulo se modelaran procesos naturales con ecuaciones diferenciales para responder estas y otras preguntas.

1.1 Una Aventura de Modelado,

Las ecuaciones diferenciales proporcionan herramientas poderosas para explicar el comportamiento de procesos que cambian dinámicamente. Se emplean para responder a preguntas relativas a esos procesos que no podrían responderse de otra manera.

Tomando como ejemplo la población de peces en un lago ¿Qué tasa de pesca mantiene a la población de peces y a la industria pesquera en niveles aceptables?. Se emplearan ecuaciones diferenciales para determinar como cambia en el tiempo la población de peces, dadas las tasas de nacimiento, muerte y pesca.

La clave del porque una ecuación diferencial puede describir lo anterior, se encuentra en las palabras “tasa de nacimiento, tasa de mortalidad, y tasa de pesca.” La palabra clave es “tasas o razones de cambio”. Las tasas o razones de cambio son funciones derivadas con respecto al tiempo. ¿En este caso, que cantidad se debe derivar?.

Sea el tonelaje total de la población de peces vivos en el tiempo t, dado en años. Entonces la razón de cambio neta de la población de peces en toneladas de peces por año es , expresada como o simplemente . Así para cualquier tiempo t, se tiene:

(1.1)

Donde todas las razones de cambio están dadas en toneladas por año. Se supone que las tasas de inmigración y emigración de y hacia los ríos que son confluentes al lago, se cancelan entre sí., De tal manera que no aparecen en la ecuación 1.1.

La observación de diferentes especies durante varios años, establece que las tasas de nacimiento y mortalidad son proporcionales al tamaño de la población.

Donde b, m, y c son constantes de proporcionalidad positivas. Lo adicional en este caso es que el coeficiente m de la mortalidad natural esta aumentado por él termino , el cual considera a la sobre población. Cuando una población aumenta en un hábitat fijo, la tasa de mortalidad aumenta mas rápidamente que lo establecido por el solo coeficiente m. Él termino de la sobre población es necesario para modelar este factor de mortalidad acelerada.

Con todo lo anterior se puede crear un modelo.

1.1.1 Construyendo el Modelo Matemático.

Denominando a la tasa de pesca por H y utilizando la ley dada en la ecuación (1), se tiene una ecuación diferencial para :

o bien

(1.2)

(Si H es una constante positiva, entonces este modelo es de tasa de pesca constante)

Donde . Una ecuación como la (1.2) que contiene una función desconocida de una sola variable y sus derivadas de denomina ecuación diferencial (EDO, como abreviatura).

Con relación al modelo de pesca, se obtiene de la observación de una población real de peces proporciona un buen conocimiento de las tasas de nacimiento y mortalidad (de tal manera que a y b son conocidas, y que la tasa de pesca H esta bajo control. Esto da lugar a que el tonelaje se determine a partir de la EDO (1.2).

Una función , para la cual

Para toda t en un intervalo dado, es una solución de la EDO(1.2).

(Si se dice que y(t) satisface a una EDO, significa que y(t) es una solución de la EDO)

Se puede estimar el valor de para un tiempo y es un factor critico en la predicción de valores futuros de . La condición , se denomina condición inicial.

Tomando el tiempo adelante del tiempo , se crea un problema cuya solución el tonelaje de peces previsto para el tiempo futuro.

1.1.2 Modelo Matemático en el Tiempo para la Población de Peces.

Dadas las constantes a, y c, la tasa de pesca H y los valores y , determinar una función para la cual

(1.3)

en algún intervalo t que contiene a

La EDO y las condiciones iniciales dadas en (1.3) dan lugar a un problema de valor inicial (PVI) para . En él capitulo 2, se establecerá que el PVI general dado en la (1.3) tiene una solución única en el intervalo t si es constante la tasa de pesca H, o si es una función continua del tiempo.

Es agradable saber que sé esta tratando con un problema que tiene solo una solución, aun cuando no se sepa como construir

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