Ecuaciones Diferenciales
isabel_nohely13 de Junio de 2015
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365 Análisis matemático para Ingeniería.
M.MOLERO; A.SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA
ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS
El Análisis ha sido durante trescientos años una de las ramas más
importantes de la Matemática, y las ecuaciones diferenciales constituyen la
parte central del Análisis, además es la que mejor permite comprender las
ciencias físicas y la técnica. Las cuestiones que plantean proporcionan una
fuente de teoría e ideas que permiten avanzar al pensamiento.
En este libro se pretende establecer la relación existente entre las
matemáticas puras y las aplicadas, por lo que se ha considerado muy
interesante introducir las ecuaciones diferenciales presentando muchos
ejemplos concretos y situaciones sencillas del mundo real, y de esta forma
conseguir dos objetivos, por un lado la comprensión de la importancia histórica
que las ecuaciones diferenciales han tenido en el desarrollo de la Matemática y
su actual vigencia y relevancia, es decir, el interés que tiene su estudio desde
el punto de vista matemático. Por otro lado, al estudiar modelos válidos para
explicar situaciones sencillas del mundo real, se motiva la aplicación en
contextos diversos y el tratamiento de diferentes cuestiones asociadas a ellos,
como existencia y unicidad de las soluciones de un problema de valor inicial,
estabilidad, problemas de contorno, comportamiento cualitativo de las
soluciones, que explican la solución del problema y permiten generalizar los
resultados. Para que el ingeniero pueda usar con confianza las ecuaciones
diferenciales debe tener un cierto dominio sobre las técnicas de solución y un
conocimiento suficiente sobre la teoría básica.
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Las ecuaciones diferenciales aparecen en casi todas las áreas de la
Ingeniería Civil, desde la Resistencia de Materiales hasta la Hidráulica. Pero
también tienen como finalidad básica servir como instrumento para el estudio
del cambio en el mundo físico; por todo esto se exponen aplicaciones tales
como la del problema de la braquistócrona, las leyes de Kepler, el oscilador
armónico, la teoría del potencial, las ecuaciones depredador-presa, la
mecánica no lineal, el principio de Hamilton o el problema mecánico de Abel...,
pues el tratamiento matemático de estos problemas es un gran logro para
nuestra civilización.
La razón de esta gran cantidad de aplicaciones se debe a que la derivada
se puede interpretar como el índice de cambio de una variable respecto de la
otra, y las variables que explican los fenómenos se relacionan entre sí por sus
índices de cambio. Al expresar estas relaciones mediante símbolos
matemáticos se obtiene una gran cantidad de ecuaciones diferenciales.
Es interesante detenerse en algunas de las aplicaciones, pues como dice
Simmons1: “... que tratan sobre este tema (ecuaciones diferenciales ordinarias)
me hacen pensar en un autobús turístico cuyo conductor conduce a gran
velocidad para cumplir sus horarios, y sus pasajeros tienen pocas o ninguna
oportunidad para gozar del paisaje. Es mejor que lleguemos algunas veces con
retraso; pero que obtengamos un mayor provecho del viaje”. Por ello es
necesario programar cuidadosamente el viaje, para detenerse y gozar de los
mejores paisajes de las ecuaciones diferenciales, aunque procurando llegar sin
retraso.
1 Simmons, F. (1988): Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones y notas
históricas. McGraw-Hill.
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Para captar la naturaleza y el interés de las ecuaciones diferenciales y
desarrollar métodos para resolver problemas científicos y técnicos no es
conveniente construir una estructura matemática lógicamente impecable, y si
se tiene presente además los niveles de rigor comentados por Freudenthal es
preciso alcanzar exactamente el nivel de rigor adecuado, sin pasarse ni
quedarse cortos, y en algunas ocasiones, presentar argumentos
razonablemente convincentes, aunque puedan no ser auténticas
demostraciones para el profesorado de matemáticas. La historia proporciona la
génesis de los conceptos, y ya se sabe que muchos grandes matemáticos
cometieron, con la óptica actual, graves errores, pero que sin embargo aportan
noticia de la dificultad que pueden tener esos conceptos cuando son
aprendidos por primera vez. En este libro se trata por tanto de combinar, de la
forma más adecuada, el conocimiento teórico con una gran variedad de
aplicaciones.
Los objetivos que se plantean en esta sección son los siguientes:
1. Comprender los conceptos sobre ecuaciones diferenciales y sistemas de
ecuaciones diferenciales.
2. Introducir una serie de métodos y técnicas de solución que se deberán
manejar con soltura, que permitan calcular la solución de determinadas
ecuaciones diferenciales, y en particular de los sistemas de ecuaciones
diferenciales lineales y de las ecuaciones diferenciales lineales de orden
superior con coeficientes constantes.
3. Aplicar a problemas de valor inicial las hipótesis y conclusiones de los
teoremas de existencia y unicidad presentados, lo que en la actualidad
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resulta de gran importancia para poder utilizar los métodos numéricos.
4. Saber realizar el análisis de las aplicaciones, con construcción de
modelos e interpretación de las soluciones.
5. Puesto que pueden presentarse problemas que, por los teoremas de
existencia y unicidad estudiados, se sabe que tienen solución, pero no se
conocen métodos para calcularla, (o son demasiado complicados), se
dedica una sección completa a la resolución numérica del problema de
valor inicial:
y '=f (x, y )
y(xo )=y0
6. Analizar el comportamiento cualitativo de las soluciones.
HISTORIA DE LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES
Las ecuaciones diferenciales sirven como modelo matemático para el
estudio de problemas que surgen en disciplinas muy diversas. Desde sus
comienzos han contribuido de manera muy notable a solucionar muchas
cuestiones y a interpretar numerosos fenómenos de la naturaleza. Su origen
histórico es inseparable de sus aplicaciones a las ciencias físicas, químicas e
ingeniería, ya que para resolver muchos problemas significativos se requiere la
determinación de una función que debe satisfacer una ecuación en la que
aparece su derivada.
En la historia de las ecuaciones diferenciales se pueden considerar cinco
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etapas2, donde cada una de ellas marca un avance definitivo. La primera etapa
iría desde los inicios hasta 1 820 cuando Cauchy publica su teorema de
existencia, que da inicio a la segunda etapa que marca la edad del rigor. La
tercera comienza en 1 870 con M. S. Lie (1 842 – 1 899) y la aplicación de la
teoría de grupos continuos a las ecuaciones diferenciales, particularmente
aquellos de la dinámica de Hamilton-Jacobi. La cuarta comienza en 1 880 con
el trabajo de E. Picard (1 856 – 1 941) y su teorema de existencia. La
construcción de las ecuaciones diferenciales es análoga a la teoría de las
ecuaciones algebraicas de Galois. La última etapa comienza en 1 930 donde el
análisis se hace más general. Ya E. H. Moore en 1 908 estudia ecuaciones con
un número infinito numerable de variables; ahora se estudiarán ecuaciones
diferenciales de dimensión infinita, y comienza el cálculo de variaciones y el
análisis funcional.
Quizá se podría situar la primera idea sobre ecuación diferencial hacia
finales del siglo XVI y principios del siglo XVII en los trabajos realizados por
John Napier (1 550 – 1 617) cuando inventó los logaritmos. Vistas las tablas
confeccionadas por él,
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