Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales tienen una forma {∆xn= f(xn,n), xo} en donde f= D ⊂ R × N {0} → R es una función y (xo, 0 ) ∈ D es el valor inicial de la sucesión.

Una ecuación diferencial es una ecuación en que la incógnita es una función: no el valor de la función en uno o varios puntos, sino la función en s ́ı misma. Además, la ecuación involucra no solo la función (incógnita), sino también sus derivadas hasta un cierto orden.

Cuando la incógnita es una función de una sola variable se dice que la ecuación es ordinaria, debido a que la o las derivadas que aparecen son derivadas ordinarias (por contraposición a las derivadas parciales de las funciones de varias variables).

Aplicaciones

• Biología

Dinámica de poblaciones: modelo de Malthus : El comportamiento de una población de seres vivos cuyo número de individuos varía en el tiempo puede ser matemáticamente modelad a mediante ecuaciones diferenciales y constituye, de hecho, uno de los principales campos de aplicación de las Matemáticas a la Biología.

Cuando una población no está sujeta a condicionantes externos (falta de alimentos, competencia por el hábitat, . . . ) su ritmo de crecimiento o decrecimiento es debido u ́nicamente al equilibrio entre su tasa de natalidad y su tasa de mortandad: la velocidad de crecimiento de la población (o de decrecimiento, si nacen menos individuos de los que mueren) es proporcional al número de individuos que la componen.

• Economía

Oferta y demanda :La demanda es el número de unidades que desean adquirir los consumidores en un determinado tiempo t, y como sabemos que el precio de un producto varia con el tiempo se puede expresar el precio como p (t) pero la demanda no solo puede depender del precio en un instante de tiempo sino también de la dirección que creen los consumidores que tomara este precio es decir la tasa de cambio de este precio o también llamado la derivada de este p’(t) , tomemos, en resumen la demanda puede escribirse como: D= f(p (t), p’(t))

• Química

Aplicaciones a Flujo de calor en estado estacionario: Considere una pieza de material de longitud indefinida acotada por dos planos paralelos A y B, como se muestra en la figura. Asuma que el material es uniforme en todas sus propiedades, por ejemplo, calor especifico, densidad, etc.

Supóngase que los planos A y B se mantienen a 50° C y 100° C, respectivamente. Todo punto entre la región A y B alcanza cierta temperatura que no cambia posteriormente. Así el plano C en la mitad entre A y estarán a 75°; en el plano E a90° C. Cuando la temperatura en cada punto de un cuerpo no varía con el tiempo, decimos que prevalecen las condiciones de estado estacionario

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