Ecuaciones Diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES

En esta unidad, haremos un breve estudio de los métodos numéricos básicos que se usan para aproximar soluciones de algunas ecuaciones diferenciales.

Recordamos rápidamente, que una ecuación diferencial (ordinaria) es aquella que involucra una variable independiente, una variable dependiente y la derivada (ó derivadas ) de esta última. En una ecuación diferencial, la incógnita es la variable dependiente y se espera encontrarla como función de la variable independiente, de tal forma que si se sustituye dicha variable dependiente, así como las derivadas que aparecen en la ecuación diferencial, la igualdad que resulta es verdadera.

De cursos anteriores de ecuaciones diferenciales, sabemos que en general, existen una infinidad de funciones (curvas) que resuelven una misma ecuación diferencial. Por ejemplo, la ecuación:

tiene como solución general:

donde c es una constante arbitraria que puede ser cualquier número real (y de aquí la infinidad de curvas solución que mencionamos arriba).

En este curso, estudiaremos solamente ecuaciones diferenciales de primer orden del tipo:

donde es una función de dos variables.

Cuando se desea que la curva solución pase por algún punto específico, digamos , entonces se dice que se trata de una ecuación diferencial con una condición inicial dada.

Así, estudiaremos ecuaciones diferenciales de la forma con la condición inicial .

Obviamente, la importancia de los métodos numéricos radica en la aparición de ecuaciones diferenciales que no pueden resolverse por métodos tradicionales, y de ahí la necesidad de implementar algún método de aproximación.

Veremos tres métodos numéricos:

• El método de Euler.

• El método de Euler mejorado.

• El método de Runge-Kutta de orden 4.

En todos estos métodos se busca aproximar el valor donde es un valor cercano a (el de la condición inicial dada).

Comencemos con el primer método que como siempre, no es el más exacto, pero si el más sencillo y simple de explicar, así como el que marca la pauta para desarrollar los otros métodos.

MÉTODO DE EULER

La idea del método de Euler es muy sencilla y está basada en el significado geométrico de la derivada de una función en un punto dado.

Supongamos que tuviéramos la curva solución de la ecuación diferencial y trazamos la recta tangente a la curva en el punto dado por la condición inicial.

Debido a que la recta tangente aproxima a la curva en valores cercanos al punto de tangencia, podemos tomar el valor de la recta tangente en el punto como una aproximación al valor deseado .

Así, calculemos la ecuación de la recta tangente a la curva solución de la ecuación diferencial dada en el punto . De los cursos de Geometría Analítica, sabemos que la ecuación de la recta es:

donde m es la pendiente. En este caso, sabemos que la pendiente de la recta tangente se calcula con la derivada:

Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es :

Ahora bien, suponemos que es un punto cercano a , y por lo tanto estará dado como . De esta forma, tenemos la siguiente aproximación:

De aquí, tenemos nuestra fórmula de aproximación:

Esta aproximación puede ser suficientemente buena, si el valor de h es realmente pequeño, digamos de una décima ó menos. Pero si el valor de h es más grande, entonces podemos cometer mucho error al aplicar dicha fórmula. Una forma de reducir el error y obtener de hecho un método iterativo, es dividir la distancia en n partes iguales (procurando que estas partes sean de longitud suficientemente pequeña) y obtener entonces la aproximación en n pasos, aplicando la fórmula anterior n veces de un paso a otro, con la nueva h igual a .

En una gráfica, tenemos lo siguiente:

Ahora bien, sabemos que:

Para obtener únicamente hay que pensar que ahora el papel de lo toma el punto , y por lo tanto, si sustituímos los datos adecuadamente, obtendremos que:

De aquí se ve claramente que la fórmula recursiva general, está dada por:

Esta es la conocida fórmula de Euler que se usa para aproximar el valor de aplicándola sucesivamente desde hasta en pasos de longitud h.

Ejemplo 1

Dada la siguiente ecuación diferencial con la condición inicial:

Aproximar .

NOTA

Primero observamos que esta ecuación sí puede resolverse por métodos tradicionales de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, podemos aplicar el método de separación de variables. Veamos las dos soluciones.

Solución Analítica.

Sustituyendo la condición inicial:

Por lo tanto, tenemos que la curva solución real está dada:

Y por lo tanto, el valor real que se pide

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