Ecuaciones Empíricas

ECUACIONES EMPÍRICAS

1. OBJETIVOS

1.1 Determinar la ecuación empírica que relaciona a dos magnitudes interdependientes medibles en un experimento, utilizando análisis gráfico y analítico de los datos obtenidos.

1.2 Medir la constante elástica y el módulo de rigidez del acero mediante los métodos estático y dinámico

2. FUNDAMENTO TEORICO

La Física es una ciencia experimental por excelencia y como tal, en el estudio de un fenómeno físico, no se puede dejar de realizar mediciones. Generalmente, en el Laboratorio, al realizar el estudio de un fenómeno físico se obtiene un conjunto de valores correspondientes a dos variables, una dependiente de la otra, que puede expresarse matemáticamente mediante una función que toma el nombre de ecuación empírica.

Esta ecuación se puede obtener a partir del gráfico de un conjunto de pares de valores (x, y) experimentales tomados en la medición de un fenómeno. El gráfico obtenido representa una función matemática del tipo

y = f (x)

donde y es la variable dependiente y x es la variable independiente.

En una experiencia a la variable independiente (x) se le asigna valores predeterminados y el valor de la variable dependiente (y) es observado y medido subsecuentemente

Para deducir gráficamente la correcta ecuación empírica es necesario obtener un buen gráfico de los datos experimentales, el cual se logra si tomamos en cuenta las siguientes recomendaciones:

1. Trazar en papel milimetrado dos ejes perpendiculares. En el eje horizontal se anotan los valores de la variable independiente (x) y en el eje vertical los valores de la variable dependiente (y).

2. Elegir escalas apropiadas en cada uno de los ejes, de acuerdo al rango de variación de los datos, teniendo en cuenta que el papel milimetrado tiene divisiones grandes que expresan centímetros (cm) y las mas pequeñas que expresan milímetros (mm). Al respecto es recomendable usar las siguientes escalas:

 1:1, (1 a 1); cada valor entero de la variable medida se representa por 1 cm y cada valor decimal por 1 mm.

Ejemplo, si una de las variables x (o y), tiene los valores: 1,4 2,8 3,6 4,0 5,8

Usando esta escala los valores a graficar serán: 1,4 cm = 1 cm y 4 mm; 2,8 cm = 2 cm y 8 mm; 3,6 cm = 3 cm y 6 mm, 4,0 cm = 4 cm y 0 mm, etc. Es decir que, los valores enteros lo representamos por cm y los decimales por mm.

 1:2, (1 a 2), cada unidad de la variable medida se representa por 2 [cm] y cada decimal por 2 mm

 1:5, (1 a 5), cada unidad de la variable medida se representa por 5 [cm] y cada decimal por 5 mm.

 En algunos casos es conveniente usar potencias de 10 para valores muy pequeños o grandes.

Así por ejemplo, si los valores de alguna de las variables son: 0,003; 0,015; 0,018; 0,025, podremos escribirlos en la forma: 310–3; 1510–3; 1810–3; 2510–3, todos los valores con la misma potencia de diez

3. Tratar, en lo posible, que el gráfico ocupe la mayor parte del papel milimetrado y tenga un ubica-ción simétrica con respecto a los dos ejes. Se puede utilizar diferentes escalas en cada uno de los ejes.

4. Trazar una línea contínua y nítida que pase por entre los puntos, de forma tal que estos queden uniformemente distribuidos a ambos lados de la línea (recta o curva).

5. Comparar la línea obtenida con cada una de las curvas tipo que se muestran en las Figuras 1, 2 y 3, para luego, por similitud, asignar la ecuación empírica que le corresponde.

Figura 1. Relación Lineal

y = k xn, para n < 0 y = k xn , para 0 < n < 1 y = k xn, para n > 1

Figura 2. Relación Potencial

y = k e a x, para a > 0 y = k e a x , para a < 0

Figura 3. Relación Exponencial

De las gráficas anteriores, la relación lineal, cuyo gráfico es una recta (Fig.1), es la más importante por ser la más usada en la determinación de la ecuación empírica de un fenómeno.

En la ecuación de la recta

y = B x + A (1)

Debemos reconocer dos parámetros o constantes importantes que son:

La Pendiente: B, definida como la tangente del ángulo que forma la recta con el eje “x”. Es decir que: B = Tan  = (y / x).

El Intercepto: A, definido como la distancia entre el origen de coordenadas y el punto donde la recta corta al eje vertical “y”. Si la recta pasa por el origen, A = 0 y la ecuación toma la forma

y = B x (2)

Para definir completamente la ecuación empírica de una cualquiera de las curvas es necesario conocer el valor de cada una de los parámetros (A, B, K, n, a) que intervienen. Esto se logra mediante el método denominado linealización de la curva.

Linealización de una Curva. Este método consiste en transformar las variables en ambos miembros de la ecuación empírica obtenida, de forma tal que las nuevas variables representen una recta.

Esta transformación se hace porque la mejor información de un fenómeno se obteniene cuando los valores de sus variables

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