Ecuaciones diferenciales que modelan el flujo en un medio poroso

2.2. MODELO MATEMÁTICO

2.2.1. Ecuaciones diferenciales que modelan el flujo en un medio poroso

Se parte de la forma básica de la ecuación de difusividad, que modela el flujo de fluidos en un medio poroso para fluidos compresibles:

        (1)[pic 1]

                (2)[pic 2]

Las velocidades de agua y petróleo se hallan por medio de la ecuación de Darcy:

        (3)[pic 3]

                (4)[pic 4]

Los potenciales de cada fase se definen como:

        (5)[pic 5]

                (6)[pic 6]

Notar que qwCN y qoCN son la cantidad de masa que entra o sale del yacimiento por fuentes o sumideros por unidad de volumen de yacimiento por unidad de tiempo a condiciones estándar. De ahora en adelante, el desarrollo de las ecuaciones se realiza para un solo fluido, en este caso se selecciona el agua, puesto que, para el caso del petróleo, la forma de las ecuaciones no varían.

Con las ecuaciones (5) y (6), aparecen los términos γ y z, donde el primero representa el gradiente hidrostático y el segundo representa una altura, la cual tiene valor positivo en el eje “y” hacia abajo. Así, se tiene en cuenta que el flujo de fluidos en el yacimiento es inclinado ya que la formación tiene un buzamiento de 3°.

Sea         (7)[pic 7]

Reemplazando la ecuación (7) en la (1),

        (8)[pic 8]

La densidad a condiciones de yacimiento puede salir como constante en la ecuación (8) y queda:

        (9)[pic 9]

Donde qvwCN es el caudal de agua por unidad de volumen de yacimiento por unidad de tiempo a condiciones estándar. Ahora, expandiendo la ecuación (9), aplicando la definición de vector gradiente y la velocidad del fluido según la ley de Darcy y además, teniendo en cuenta que se tiene un flujo 2D y por tanto α=h, se tiene:

        (10)[pic 10]

Se define las siguientes variables:

                (11)[pic 11]

                        (12)[pic 12]

                (13)[pic 13]

                (14)[pic 14]

Reemplazando las ecuaciones (11), (12), (13) y (14) en la (10),

        (15)[pic 15]

De manera análoga se tiene para la fase petróleo:

                (16)[pic 16]

Las ecuaciones (15) y (16) modelan el flujo del agua y el petróleo respectivamente en un medio poroso.

2.2.2. Condiciones de límite

El yacimiento no tiene flujo en las fronteras, una de las formas de representar esto se enuncia a partir de condiciones tipo Neumann:

                (17)[pic 17]

                (18)[pic 18]

                (19)[pic 19]

                (20)[pic 20]

Matemáticamente, esto también se puede escribir como:

        (21)[pic 21]

De la ecuación (21), se puede deducir que  y, por las ecuaciones (5) y (6) que definen el potencial, se deduce finalmente que , por tanto se generaliza que en todas las fronteras, para cualquiera de las fases, la presión no varía.[pic 22][pic 23]

Como se muestra en la figura 1, se supone que alrededor del yacimiento existen unos bloques “fantasma”, con lo cual se muestra que el yacimiento, así se suponga que es cerrado, no está aislado. Estos bloques son los que reflejan las condiciones exhibidas en las ecuaciones (17), (18), (19) y (20) y serán utilizados en el modelo numérico.

2.2.3. Correlaciones para propiedades PVT

La finalidad con estas correlaciones es calcular los factores volumétricos y las viscosidades tanto del petróleo como el agua, sin embargo, para llegar a ellas, se requiere calcular otras propiedades del fluido como paso intermedio. Por tanto, se hace necesario calcular las siguientes propiedades de los fluidos:

En general, se calcula para el petróleo su viscosidad libre de gas a condiciones normales, la cual se hace por medio de la correlación de Beggs y Robinson.

Para las siguientes tablas, se va a diferenciar las correlaciones utilizadas para calcular las diferentes propiedades si la presión del fluido está por encima de la presión de burbuja (Pf > Pb) o por debajo (Pf < Pb).

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