El cálculo diferencial . Derivadas

Unidad III. Derivadas

El cálculo diferencial consiste simplemente en calcular algebraicamente el límite de un cociente. Eso nos proporciona la pendiente de la recta tangente que estamos buscando. Quizá sea esta la definición más precisa y nítida entre las posibles del cálculo diferencial. - Jean D’Alembert (1717-1783)

3.1   Introducción

 El concepto de derivada es explicado desde dos puntos de vista; geométrico y físico.

Geométrico: El valor de la derivada es la pendiente de la tangente en un punto dado, la derivada es también una aproximación, es la mejor aproximación a ese punto, pero con un grado menos.

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Físico: La derivada de la función vectorial cuya variable es el tiempo, es el vector velocidad y la segunda derivada es el vector aceleración.

3.2   Definición de derivada.

Esta definición es llamada comúnmente derivada por incrementos  y consiste en calcular la pendiente de la tangente a una curva mediante su definición por el  límite, empleamos el procedimiento en cuatro pasos.

3.2.1   Regla de los cuatro pasos.

Dada   [pic 6]

         1.- Hallar  [pic 7]

         2.- Calcular  [pic 8]

         3.- Dividir por    para obtener       [pic 9][pic 10]

         4.- Hacer   para obtener[pic 11]

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3.2.3   Ejercicios Utilizando la Regla de los cuatro pasos.

A continuación, se presentan algunos ejercicios resueltos de definición por la derivada o derivada por incrementos:

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+)-2(        [pic 24][pic 25][pic 26]

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3.3   Derivadas por formulas (algebraicas, trigonométricas, Logarítmicas y exponenciales)

3.3.1 Teorema 1 “Regla de la Constante”

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1. [pic 45]
2. [pic 46]

3.3.2 Teorema 2 “Regla de las Potencias”

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3.3.3 Teorema 3 “Regla del Múltiplo Constante”

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3.3.4 Teorema 4 “Regla de la suma y resta”

  Regla de la suma[pic 65]

 Regla de la diferencia[pic 66]

3.3.5 Teorema 5 “Regla del Producto”

La fórmula de la regla del producto o de la multiplicación  se puede representar diversas maneras, aquí se muestran algunas de las más comunes.

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3.3.6 Teorema 6 “Regla del Cociente”

La fórmula de la regla del cociente o la división se puede representar diversas maneras, aquí se muestran algunas de las más comunes.

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3.3.7 Teorema 7 “Regla de la Cadena”

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3.3.8 Teorema 8 “Regla de las Funciones trigonométricas”

Ejemplo de trigonométricas inversas;

• Hay ocasiones en que se aplican las identidades trigonométricas para derivar éstas funciones, las fundamentales son;

A continuación, se presentan algunos ejercicios con de derivadas trigonométricas.

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3.3.9 Teorema 9 “Funciones exponenciales”

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3.3.10 Teorema 10 “Funciones Logarítmicas”

3.3.10.1 Propiedades o Leyes  de las Funciones Logarítmicas

Sean   M y N valores positivos, b>0 y b≠0,  entonces:

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3.4.   Derivadas Implícitas

Métodos de derivación;

1. Se deriva la ecuación término a término, considerando a y, como función de x, de la ecuación resultante despejamos .[pic 170]
2. [pic 171]

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Primer método;

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Segundo método;

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Primer método;

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Segundo método;

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3.3   Ejemplo de Derivadas Mixtas

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Unidad 4. Aplicaciones de la Derivada

4.1 Introducción:

Extremos de una función

Es muy importante poder determinar el comportamiento de una función I en un intervalo I.

Definición (Extremos):

Sea f una función definida en el intervalo I, y sea , entonces, [pic 226]

1.  es el minimo de f en I, si [pic 227][pic 228]

2.  es el máximo de f en I, si [pic 229][pic 230]

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