El uso del término proporción en la vida cotidiana

PROPORCIONALIDAD

Introducción

En la vida corriente utilizamos el término PROPORCIÓN con distintos sentidos:

Cuando decimos que alguien está bien proporcionado damos a este término un sentido de armonía y estética: "este niño ha crecido mucho, pero está bien proporcionado"

• Si comentamos que el éxito de una persona es proporcional (o está en proporción) a su trabajo ponemos de manifiesto la correlación entre estas dos variables: ÉXITO y TRABAJO.

• También solemos utilizarlo para comparar fenómenos en distintos ámbitos: " proporcionalmente una hormiga es más fuerte que un elefante " (el hombre no resiste las comparaciones con otros animales: un escarabajo puede levantar 850 veces el peso de su propio cuerpo. Proporcionalmente equivaldría a que un hombre levantara sobre su cabeza un tanque de 50 Tm. Una pulga puede saltar hasta 130 veces su altura. Para competir con ella un hombre debería saltar limpiamente la Giralda de Sevilla).

También se cometen errores:

• Hace años se estudió la reacción de un elefante macho al LSD (una droga). Los científicos calcularon la dosis que se debía administrar a partir de la cantidad que pone a un gato en estado furioso. Esta proporción fue trágica para el elefante pues inmediatamente empezó a correr y a trompetear, tuvo convulsiones y expiró.

En matemáticas esta palabra tiene un significado más restringido que trataremos de precisar:

Consideremos los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1

En la siguiente tabla se relaciona la superficie de una valla a pintar y la pintura empleada.

m2 de valla a pintar 1 1'5 2 4

Litros de pintura empleados 0'33 0'495 0'66 1'32

Ejemplo 2

Desde que un conductor ve un obstáculo, reacciona, pisa el freno y el coche realmente se detiene, se recorre una distancia que depende de la velocidad:

Velocidad que lleva (Km/h) 20 40 60 80 100

Distancia total de detención (m) 7 20'5 39'5 64 95

Ejemplo 3

Observa el dibujo y construye una tabla que relacione la altura de cada rectángulo con su base.

Ejemplo 4

El precio de un aparcamiento es:

Tiempo Precio

hasta 1 hora 1 €

hasta 2 horas 2 €

.................. .............

En todos estos ejemplos existe una relación entre dos magnitudes. Además, cuando una varía provoca que varíe la otra. Podemos precisar aún más:

En el ejemplo 1:

- Al doble de m2 de valla corresponde doble cantidad de litros de pintura.

- Al triple de m2 de valla corresponde triple cantidad de litros de pintura.

- A la mitad de m2 de valla corresponde la mitad cantidad de litros de pintura.

En el ejemplo 3:

- A doble base corresponde doble altura.

- A triple base corresponde triple altura.

- A cuádruple base corresponde .... altura.

Cuando podemos utilizar este tipo de expresiones:

a doble .............. doble,

a mitad.............. mitad,

a triple ............. triple,

a un tercio.....un tercio,

etc .........................

decimos que las dos magnitudes son directamente proporcionales.

"La superficie de valla a pintar es directamente proporcional al volumen de litros de pintura".

"Las longitudes de las bases son directamente proporcionales a las longitudes de las alturas".

En el ejemplo 4 es conveniente observar que si sólo tomamos valores enteros puede parecer que existe proporcionalidad. No es así, como ponen de manifiesto los siguientes valores:

Tiempo Precio

30 minutos 1 €

60 minutos 1 €

70 minutos 2 €

140 minutos 3 €

En este caso diremos que el precio del estacionamiento no es directamente proporcional al tiempo aparcado.

¿ Y el ejemplo 2 ? Averígualo.

Repartos directamente proporcionales

Consiste en que dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una magnitud total, calcular la parte correspondiente a cada una de las magnitudes dadas.

Ejemplo

Un abuelo reparte 450 € entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de edad; proporcionalmente a sus edades. ¿Cuánto corresponde a cada uno?

Llamamos x, y, z a las cantidades que le corresponde a cada uno.

1º El reparto proporcional es:

2º Por la propiedad de las razones iguales:

3º Cada nieto recibirá:

Descomposición de números naturales en sus factores primos

Por ejemplo, un número natural como 20 puede expresarse como un producto de números de diferentes formas:

20 = 2 • 10 = 1 • 20 = 4 • 5

En cada uno de estos casos, los números que forman el producto son los factores.

Es decir, cuando expresamos el número 20 como el producto 2 • 10, a cada uno de los números (2 y 10) se les denomina factor.

En el caso de 1 • 20 los factores son 1 y 20 y finalmente en el caso de 4 • 5, los factores son 4 y 5.

Cada uno de los números 1, 2, 4, 5, 10, 20 se denominan a su vez divisores de 20.

Otro ejemplo, los factores primos de 15 son 3 y 5. Del mismo modo, como 60 = 22 • 3 • 5, los factores primos de 60 son 2, 3 y 5.

Debe recordarse, además, que cuando un número es divisible únicamente por sí mismo y por la unidad el número se denominaprimo.

Factorización y productos notables

Así como los números naturales pueden ser expresados como producto de dos o más números, los polinomios pueden ser expresadas como el producto de dos o más factores algebraicos.

Cuando un polinomio no se puede factorizar se denomina irreducible. En los casos en que la expresión es irreducible, solo puede expresarse como el producto del número 1 por la expresión original.

Al proceso de expresar un polinomio como un producto de factores se le denomina factorización.

El proceso de factorización puede considerarse como inverso al proceso de multiplicar.

Factorizar, entonces, quiere decir identificar los factores comunes a todos los términos y agruparlos.

Los factores comunes son aquellos números que aparecen multiplicando a todos los términos de una expresión algebraica.

Estos números pueden estar dados explícitamente o representados por letras.

Así, factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios llamados factores, de tal modo que al multiplicarlos entre sí se obtenga el polinomio original.

En otras palabras, dada una expresión algebraica complicada, resulta útil, por lo general, el descomponerla en un producto de varios términos más sencillos.

Por ejemplo, 2x3 + 8x2y se puede factorizar, o reescribir, como 2x2(x + 4y).

Algunos ejemplos:

De la expresión ab2 + 3cb - b3 podemos factorizar b

y obtenemos la expresión: b(ab + 3c - b2) (1)

Veamos paso a paso cómo se obtuvo la expresión:

ahora podríamos reacomodar la expresión que queda dentro del paréntesis:

Finalmente si sustituimos este último resultado en (1), obtenemos:

ab2 + 3cb - b3 = b (b (a - b) + 3c)

ab2 + 3cb - b3 = b (ab - b2 + 3c)

ab2 + 3cb - b3 = b (ab +3c –b2)

Por otro lado, algunos productos sencillos que tienen una estructura determinada y que pueden ser evaluados de forma directa se denominan Productos notables.

En general los casos de factorización corresponden a los casos de productos notables.

Antes de mostrar ejercicios de aplicación de factorización y productos notables, es necesario recordar la forma de hallar el máximo común divisor (mcd) de un conjunto de números dados.

Ejemplo: Determinar el máximo común divisor (mcd) de los números 56, 42 y 28.

El máximo común divisor de un conjunto de números dados corresponde al mayor número natural que los divide simultáneamente, con residuo cero.

Para hallar el mcd de un conjunto determinado de números, estos se dividen simultáneamente por los diferentes números primos (tomados en orden ascendente, y desechando los números primos por los cuales no se pueda hacer la división con residuo cero detodos los números de la fila) según el arreglo mostrado a continuación.

El proceso termina, cuando los números que aparecen en la fila inmediatamente inferior a la última división simultánea, no pueden dividirse simultáneamente por algún número primo.

El mcd buscado es el producto de los números primos que aparecen a la derecha:

56 42 28 ÷ 2

28 21 14 ÷ 7

4 3 2

Los números originales (56, 42, 28) se escriben desde la izquierda hacia la derecha.

A la derecha de ellos se escribe el 2 (primer número primo de la lista) y se divide cada uno de estos números por 2, escribiendo el resultado obtenido en la misma columna del número original.

La segunda fila muestra estos resultados.

Como los números 28, 21 y 14 no pueden dividirse simultáneamente por 3, este número primo se desecha.

De forma similar se desecha el 5.

El siguiente número primo en la lista es 7.

En este caso se puede hacer la división simultáneamente obteniéndose los números 4, 3 y 2.

Esta última fila no puede dividirse simultáneamente ni por 2 ni por 3.

Como el siguiente número primo (5) es mayor que 4, el proceso termina.

Por lo tanto, el mcd de los números 56, 42 y 28 es el producto de los números primos de la derecha: 2 • 7 = 14

Lo anterior se expresa como: mcd (56, 42, 28) = 14 (el máximo común divisor de los números 56, 42 y 28 es igual a 14)

Ejemplo: Factorizar 9x + 6y - 12z

Este es un ejemplo sencillo de la factorización por factor común.

Dada una expresión algebraica se encuentra el máximo común divisor (mcd) de los coeficientes de los términos de la expresión algebraica.

Este mcd corresponde al coeficiente del factor común.

Para la parte literal se toman las variables comunes a todos los términos con el menor exponente que aparezca.

Para este ejercicio el mcd de 9, 6 y 12 es 3; además como no hay variables comunes en los tres términos tenemos:

9x + 6y - 12z = 3(3x + 2y - 4z)

es decir 9x + 6y - 12z se ha expresado como el producto de los factores 3 y 3x + 2y - 4z.

Ejemplo: Factorizar 9xy2 + 6y4 - 12 y3z

En este caso además del factor común 3 (mcd de 9, 6, 12) la variable y es común a los tres términos. La menor potencia común es y2por lo tanto la factorización queda:

9xy2 + 6y4 - 12y3z = 3y2(3x + 2y2 - 4yz)

Los factores en este caso son 3x + 2y2 - 4yz y 3y2. Para verificar, al realizar el producto indicado se obtiene la expresión original:

3y2(3x + 2y2 - 4yz) = (3y2 * 3x) + (3y2 * 2y2) - (3y2 * 4yz)

= 9xy2 + 6y4 - 12y3z

Ecuaciones con dos incógnitas: Dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema, cuando lo que pretendemos de ellas es encontrar su solución común.

La solución de un sistema es un par de números x1, y1, tales que reemplazando x por x1 e y por y1, se satisfacen a la vez ambas ecuaciones.

Ejemplo:

x = 2, y = 3

CIENCIAS NATURALES

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