Estadística descriptiva. Probabilidad y Estadística

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AGUASCALIENTES

Ingeniería Industrial

Probabilidad y Estadística

PROBLEMARIO UNIDAD 1

“Estadística Descriptiva”

Profesor: Damián Muñoz Ibarra

Alumna: Paulina Sánchez Sánchez

PROBABILIDAD

PROBLEMAS UNIDAD I

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MEDIA ARITMÉTICA

1.- Las notas de un estudiante en seis exámenes fueron: 84, 91, 72, 68, 87 y 78. Encontrar la media aritmética.

x ̅= (∑▒x)/n

x ̅= (84+91+72+68+87+78)/6

x ̅= 480/6

x ̅= 80

2.- Un inspector de alimentos examinó una muestra aleatoria de 7 latas de cierta marca de atún para determinar el porcentaje de impurezas contenidas. Se obtuvieron los siguientes datos: 1.8, 1.7, 1.6, 0.9, 2.7, 1.8 y 2.1. Calcule la media.

x ̅= (∑▒x)/n

x ̅= (1.8+1.7+1.6+0.9+2.7+1.8+2.1)/7

x ̅= 12.6/7

x ̅= 1.8

3.- Hallar la media aritmética de los números; 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 4, 5, 4, 8, 2, 5, y 4.

x ̅= (∑▒x)/n

x ̅= (5+3+6+5+4+5+2+8+6+5+4+8+3+4+4+5+4+8+2+5+4)/21

x ̅= 100/21

x ̅= 4.7619

4.- El departamento de educación informó que durante los últimos años recibieron grados de licenciatura el siguiente número de personas: 5033, 5652, 6407, 7201, 8719, 11,154 y 15,121. ¿Cuál es la media de las personas que se graduaron?

x ̅= (∑▒x)/n

x ̅= (5033+5652+6407+7201+8719+11154+15121)/7

x ̅= 59287/7

x ̅= 8469.5714

5.-Los pesos netos de en gramos del contenido de cinco envases de un perfume seleccionados en forma aleatoria de la línea de producción son: 85.4 gr, 85.3, 84.9, 85.4 y 85.0. ¿Cuál es la media de las observaciones muestrales (pesos de los envases)?

x ̅= (∑▒x)/n

x ̅= (85.4+85.3+84.9+85.9+85)/5

x ̅= 426.5/5

x ̅= 85.3

MEDIANA

6.- Una muestra de los honorarios paramédicos cobrados por unas clínicas, dio estas cantidades 35, 29, 30, 25, 32, 35. ¿Cuál es la mediana de ellas?

Ordenando los datos: 25, 29, 30, 32, 35,35

Entonces el dato central seria: 25, 29, 30, 32, 35,35

x ̃=(30+32)/2

x ̃=62/2

x ̃=31

7.- Los tiempos que necesitaron varias empresas de seguros para revisar solicitudes para servicios de cobertura semejante son (en minutos) 50, 230, 52, 57. ¿Cuál es la mediana del tiempo necesario para revisar una solicitud?

Ordenando los datos: 50, 52, 57, 230

Entonces el dato central seria: 50, 52, 57, 230

x ̃=(52+57)/2

x ̃=109/2

x ̃=54.5

8.-Obtener la mediana de los siguientes datos

8, 6, 4, 4, 6, 5, 7, 9, 5, 4, 3, 3, 7

Ordenando los datos: 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9

Entonces el dato central seria: 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9

Por lo tanto x ̃=5

Los números 2, 1, 3, 1, 12, 3, 1, 1, 3, 1, 10, representan el número de hijos que tienen 11 empleados de una compañía, obtener la mediana.

Ordenando los datos: 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 10, 12

Entonces el dato central seria: 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 10, 12

Por lo tanto x ̃=2

MODA

9.- Obtener la moda de los siguientes datos

2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10 , 10, 11, 12, 18

x ̂=dato que mas se repite

x ̂=9

3, 5, 8, 10, 12, 15, 16

x ̂=dato que mas se repite

x ̂=multimodal

10.- Hallar la media, la moda y la mediana para los siguientes conjuntos.

3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6

Media

x ̅= (∑▒x)/n

x ̅= (3+5+2+6+5+9+5+2+8+6)/10

x ̅= 96/10

x ̅= 9.6

Mediana

Ordenando los datos: 2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 9

Entonces el dato central seria: 2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 9

Por lo tanto: x ̃=5

Moda

x ̂=dato que mas se repite

x ̂=5

51.6, 48.7, 50.3, 49.5, 48.9

Media

x ̅= (∑▒x)/n

x ̅= (51.6+48.7+50.3+49.5+48.9)/5

x ̅= 249/5

x ̅= 49.8

Mediana

Ordenando los datos: 48.7, 48.9, 49.5, 50.3, 51.6

Entonces el dato central seria: 48.7, 48.9, 49.5, 50.3, 51.6

Por lo tanto: x ̃=49.5

Moda

x ̂=dato que mas se repite

x ̂=multimodal

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

RANGO

11.- En las muestras siguientes encontrar el rango.

3, 3, 5

R=dato mayor- dato menor

R=5-3

R=2

2, 3, 7, 8

R=dato mayor-dato menor

R=8-2

R=6

DESVIACIÓN MEDIA

12.- Para los siguientes datos obtener la desviación media.

2, 3, 6, 8, 11

x ̅=(2+3+6+8+11)/5=6

DM=(∑_(i=1)^n▒|x_i-x ̅ | )/n

DM= (|2-6|+|3-6|+|6-6|+|8-6|+|11-6|)/5

DM=((4)+(3)+(0)+(2)+(5))/5

DM=14/5

DM=2.8

3, 5, 8, 10, 12, 15, 16

x ̅=(3+5+8+10+12+15+16)/7=9.85

DM=(∑_(i=1)^n▒|x_i-x ̅ | )/n

DM=(|3-9.85|+|5-9.85|+|8-9.85|+|10-9.85|+|12-9.85|+|15-9.85|+|16-9.85|)/7

DM=((6.85)+(4.85)+(1.85)+(.15)+(2.15)+(5.15)+(6.15))/7

DM=27.15/7

DM=3.8785

VARIANZA

13.- Encontrar la varianza de muestra siguiente: 6, 3, 8, 5, 3

s^2=σ^2=(∑_(i=1)^n▒〖(x_i-x ̅)〗^2 )/(n-1)

x ̅=5

s^2=(〖(6-5)〗^2+〖(3-5)〗^2+〖(8-5)〗^2+〖(5-5)〗^2+〖(3-5)〗^2)/4

s^2=18/4

s^2=4.5

14.- Encontrar la varianza de la siguiente muestra. 2, 3, 7, 8, 10.

Varianza con formula simplificada.

s^2=(n(∑▒〖x^2)-〗(〖∑▒x)〗^2)/((n)(n-1))

s^2=(4(226)-900)/20

s^2=(904-900)/20

s^2=0.2

15.- En seis domingos consecutivos; un operador de grúa recibió 9, 7, 11, 10, 13, y 7 llamadas de servicio. Calcule la varianza con la formula simplificada y con la anterior.

Formula de varianza

s^2=σ^2=(∑_(i=1)^n▒〖(x_i-x ̅)〗^2 )/(n-1)

x ̅=9.5

s^2=(〖(9-9.5)〗^2+〖(7-9.5)〗^2+〖(11-9.5)〗^2+〖(10-9.5)〗^2+〖(13-9.5)〗^2+〖(7-9.5)〗^2)/5

s^2=27.5/5

s^2=5.5

Formula simplificada

s^2=(n(∑▒〖x^2)-〗(〖∑▒x)〗^2)/((n)(n-1))

s^2=(6(569)-3249)/30

s^2=(3414-3249)/30

s^2=5.5

PROBLEMAS DE TABLAS DE DISTRIBUCIÓN

16.- En una prueba se obtuvieron los siguientes resultados. Hacer una tabla de frecuencias.

46 48 64 76 78 54 39

80 48 60 64 59 62 57

57 61 63 68 72 64 57

59 65 68 67 71 72 75

94 86 41 68 67 61 69

76 65 66 28 68 67 61

Encontrar rango.

Encontrar amplitud de clase.

Calcular límites de clase.

Encontrar marca de clase.

Encontrar frecuencia absoluta.

Encontrar frecuencia acumulada.

Hacer histograma.

Hacer polígono de frecuencias.

Hacer ojiva.

Calcular media aritmética para datos agrupados.

Calcular mediana para datos agrupados.

Calcular moda para datos agrupados.

Encontrar varianza y desviación estándar para datos agrupados.

Acomodando los datos:

28, 39, 41, 46, 48, 48, 54, 57, 57, 57, 59, 59, 60, 61, 61, 61, 62, 63, 64, 64, 64, 65, 65, 66, 67, 67, 67, 68, 68, 68, 68, 69, 71, 72, 72, 75, 76, 76, 78, 80, 86, 94

R=94-28=66

Amplitud de clase

k=1+3.322 log⁡(n)=1+3.322log42=6.39=6

c=R/k=66/6=11

k lim⁡inf-lim⁡sup x f_i F_i f_i x_i f_i x_i^2

1 28-39 33.5 1 1 33.5 1122.25

2 39-50 44.5 5 6 222.5 9901.25

3 50-61 55.5 7 13 388.5 21561.75

4 61-72 66.5 20 33 1330 88445

5 72-83 77.5 7 40 542.5 42043.75

6 83-94 88.5 1 41 88.5 7832.25

7 94-105 99.5 1 42 99.5 9900.25

Total 2705 180806.5

g)

h)

i)

j) Media aritmetica

x ̅=(∑_(i=1)^n▒〖x_i f_i 〗)/(∑_(i=1)^n▒f_i )

x ̅=2705/42=64.40

k) Mediana

x ̃=L_1+[(n/2-∑▒f_i )/(f med)]c

x ̃=61+[(42/2-13)/20]11

x ̃=61+[8/20]11

x ̃=61+4.4

x ̃=65.4

l) Moda

x ̂=L_1+[A_1/(A_1+A_2 )]c

...