PROBABILIDAD Y ESTADISTICA DESCRIPTIVA

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA DESCRIPTIVA 14:00 15:00

UNIDAD I. DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA (PARTE 1)

INTRODUCCIÓN

Existen muchas definiciones acerca de lo que es la estadística, sin embargo, todas toman en cuenta

Estadística: Ciencia que recoge, analiza, presenta, analiza e interpreta datos con el fin de propiciar la toma de decisiones más eficaz.

DATOS NO AGRUPADOS

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Media: Para un conjunto dado de números , la medida más conocida y útil del centro es la media, o promedio aritmético del conjunto. Debido a que casi siempre pensamos de las ; como partes constituyentes de una muestra, con frecuencia nos referimos al promedio aritmético como la media muestral y la denotamos por . [pic 1][pic 2][pic 3]

Así,  de un conjunto de números ,  está dada por: [pic 4][pic 5]

[pic 6]

Ejemplo:

A continuación, se presentan las calificaciones de Pedro: 80, 80, 70, 90, 80, 90. De este modo la media o promedio de las calificaciones de Pedro son:

[pic 7]

Este resultado lo podemos redondear a 80.

Observe que: [pic 8]

[pic 9]

Moda: Corresponde al dato que se repite más, o bien de mayor frecuencia en un conjunto de datos no agrupados. La moda se denotará mediante, .[pic 10]

    es el dato de mayor frecuencia (el que más se repite).[pic 11]

Del ejemplo anterior se tiene que:  [pic 12]

Mediana: La palabra mediana es sinónimo de “medio” y la mediana muestral es ciertamente el valor medio cuando las observaciones se ordenan de menor a mayor en magnitud. La mediana se representará mediante [pic 13]

 Primero se ordenan los datos de menor a mayor.

Caso I. Si  es impar  = Dato central[pic 14][pic 15]

Caso II. Si  es par  = Promedio de los dos datos centrales.[pic 16][pic 17]

Del ejemplo anterior primero se ordenan los datos de menor a mayor, quedando de la forma siguiente: 70, 80, 80, 80, 90, 90, en este caso,  =6 es número par, por lo que:[pic 18]

[pic 19]

Observación:

, son valores que se aproximan.[pic 20]

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Varianza. Es una medida de dispersión de los datos respecto a un valor central, por lo general de la media, . Se pueden distinguir dos tipos de varianza en función de la cantidad total de datos.[pic 21]

= varianza poblacional, en este caso se consideran todos los datos de una población.[pic 22]

= varianza muestral, en este caso solo se considera una parte o muestra de la población.[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

Desviación estándar. La varianza por sí misma no ayuda a interpretar los resultados en un problema determinado, es por ello que en lugar de ello se emplea la desviación estándar, la cual se obtiene al calcular la raíz cuadrada de la varianza, esto es:

[pic 26]

Ejemplo:

Calcular la varianza y la desviación estándar de las calificaciones de Pedro: 80, 80, 70, 90, 80, 90. (n = 6)                                                                                        

Varianza:

[pic 27][pic 28]                

[pic 29]

Desviación estándar:

[pic 30]

[pic 31]

Tarea 1:

A continuación, se presenta el tiempo que tardan (en minutos) 30 empleados en armar un circuito eléctrico.

Calcular las medidas de tendencia central y de dispersión.

DATOS AGRUPADOS

Cuando se tiene gran cantidad de datos sin agrupar es conveniente agruparlos por clases o categorías, utilizando para ello una tabla de distribución. A continuación, se presenta el formato de la tabla de distribución con la que se trabajara.

En la tabla cada renglón corresponde a una clase o categoría. La letra  sirve para identificar la clase en la que se está trabajando, por ejemplo, si , nos referimos a la clase 2, y así respectivamente. Observe que la tabla contiene  clases, por lo que: .[pic 49][pic 50][pic 51][pic 52]

Para construir una tabla de distribución de frecuencias a para de un conjunto de  Datos No Agrupados, seguiremos el siguiente procedimiento:[pic 53]

1. Ordenar los datos de menor a mayor.

1. Determinar el número de clases a emplear. Para ello podemos emplear la fórmula de Sturges: , donde  es el logaritmo de base 10.[pic 54][pic 55]

1. Determinar el parámetro de incremento delta, .[pic 56]

[pic 57]

1. Determinar el Rango, , mediante: .[pic 58][pic 59]

1. Determinar el Tamaño de Clase, , mediante:  . El tamaño de clase mide la distancia que hay entre una clase y otra.[pic 60][pic 61]

1. Determinar el Intervalo de Clase, , mediante: . El intervalo de clase mide la distancia que hay entre  y [pic 62][pic 63][pic 64][pic 65]

1.  es el Límite Inferior de la clase . Por lo general, .  [pic 66][pic 67][pic 68]

Para obtener los Límites Inferiores a partir de la clase , se emplea la fórmula:         [pic 69][pic 70]

1.  es el Límite Superior de la clase . Por lo general, .  [pic 71][pic 72][pic 73]

Para obtener los Límites Superiores a partir de la clase , se emplea la fórmula: [pic 74][pic 75]

1.  es el Límite Real Inferior de la clase . Para obtener los Límites Reales Inferiores en cada clase, se emplea la fórmula:  [pic 76][pic 77][pic 78]
2.  es el Límite Real Superior de la clase . Para obtener los Límites Reales Superiores en cada clase, se emplea la fórmula:  [pic 79][pic 80][pic 81]

 es la Marca de Clase de la clase . Se puede calcular de dos maneras mediante:
[pic 82][pic 83][pic 84]

O bien:

[pic 85]

1.  es la Frecuencia Absoluta de la clase . Se obtiene al contar la cantidad de datos que caen en cada clase correspondiente[pic 86][pic 87]

1.  es la Frecuencia Acumulada Absoluta de la clase . Por lo general, . [pic 88][pic 89][pic 90]

A partir de la clase , se emplea la fórmula [pic 91][pic 92]

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