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Un embarque de 10 televisores contiene 3 unidades defectuosas. Un hotel realiza una compra al azar de 3 de los televisores. Si X es el número de unidades defectuosas que compra el hotel:

Encuentre la función de probabilidad f(x).

Debemos caer en la cuenta que las cantidad de televisores defectuosos que puede comprar el hotel al azar puede ser 0, 1, 2, 3 luego estos son los valores que puede tomar nuestra variable aleatoria X.

Calculemos ahora las diferentes probabilidades.

P(X=0)=(3¦0)(7¦3)/((10¦3) )=7/24, P(X=1)=(3¦1)(7¦2)/((10¦3) )=21/40

P(X=2)=(3¦2)(7¦1)/((10¦3) )=7/40, P(X=3)=(3¦3)(7¦0)/((10¦3) )=1/120

Luego fácilmente podemos definir la función de probabilidad

f(x)=(3¦x)(7¦(3-x))/((10¦3) )

x 0 1 2 3

P(X=x) 7/24 21/40 7/40 1/120

Además podemos calcular

Encuentre el valor esperado E(X), la varianza V(X) y la desviación estándar S(X)

μ_X=E(X)=∑_x▒〖[xf(x)]=(0)(7/24) 〗+(1)(21/40)+(2)(7/40)+3(1/120)=0,9

σ_X=V(X)=∑_x▒〖[x^2-f(x)]-μ_X^2 〗=[(0^2-7/24)+(1^2-21/40)+(2^2-7/40)+(3^2-1/120)]-(0,9)^2=12,19

S(X)=√(σ_X )=√12,19=3,4914

Sea X una variable aleatoria con función de densidad

f(x)={█(a(3x-x^2 ) 0≤x≤3@0 en otro caso)┤

Determine el valor de a para que la función sea efectivamente una función de densidad de probabilidad.

∫_(-∞)^∞▒〖f(x)dx=∫_0^3▒〖a(3x-x^2 )dx=〗〗 a∫_0^3▒〖(3x-x^2 )dx=a[(3x^2)/2-x^3/3] 〗 {█(3@0)┤=a[((3(3)^2)/2-3^3/2)-((3(0)^2)/2-0^3/2)]=9/2 a

Para que f(x) sea una función de probabilidad ∫_(-∞)^∞▒f(x)dx=1 luego, 9/2 a=1→a=2/9.

Así el valor para el cual a es una función de densidad de probabilidad es 2/9.

Calcule p(1<x<2)

P(1<x<2)=2/9 ∫_1^2▒〖(3x-x^2 )dx=2/9 [(3x^2)/2-x^3/3] 〗 {█(2@1)┤=2/9 [((3(2)^2)/2-2^3/2)-((3(1)^2)/2-1^3/2)]=(2/9)(13/6)=13/27≅0,4814

La probabilidad p(1<x<2) es de 48,14%

Un estudio examinó las actitudes nacionales acerca de los antidepresivos. El estudio reveló que el 70% cree que los “antidepresivos en realidad no curan nada, solo disfrazan el problema real”. De acuerdo con este estudio, de las siguientes 5 personas seleccionadas al azar:

Antes de responder las preguntas definamos que X es el número de personas seleccionadas, así X es una variable aleatoria que se distribuye binomial con parámetros p=0,7 y n=5.

f(x,p,n)=(5¦x) 〖(0,7)〗^x 〖(0,3)〗^(5-x)

¿Cuál es la probabilidad de que al menos 3 tengan esta opinión?

P(X≥3)=1-P(X≤2)

=1-[(5¦0) 〖(0,7)〗^0 〖(0,3)〗^5+(5¦1) 〖(0,7)〗^1 〖(0,3)〗^4+(5¦2) 〖(0,7)〗^2 〖(0,3)〗^3 ]

=1-0,1631=0,8369

La probabilidad de que por lo menos 3 personas tengan esta opinión es del 83,69%

¿Cuál es la probabilidad de que máximo 3 tengan esta opinión?

P(X≤3)=(5¦0) 〖(0,7)〗^0 〖(0,3)〗^5+(5¦1) 〖(0,7)〗^1 〖(0,3)〗^4+(5¦2) 〖(0,7)〗^2 〖(0,3)〗^3+(5¦3) 〖(0,7)〗^3 〖(0,3)〗^2

=0,4718

La probabilidad de que máximo 3 personas tengan esta opinión es del 47,18%.

De cuantas personas se esperaría que tuvieran esta opinión.

Calculando el valor esperado μ_X=E(X)=n.p=(5)(0,7)=3,5 tenemos que se esperaría que entre 3 y 4 personas dieran esta respuesta.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que una mesera se rehusé a servir bebidas alcohólicas a dos menores si ella verifica al azar las identificaciones de 5 estudiantes en entre 9 estudiantes, de los cuales 4 no tienen la edad legal para beber?

Sea X el número de estudiantes que no tienen la edad legal para consumir alcohol, X se distribuye como una variable aleatoria hipergeométrica, con parámetros N=9;n=5 ;K=4

f(x,N,K,n)=(K¦x)((N-K)¦(n-x))/((N¦n) )

Luego tenemos

P(X=2)=(4¦2)(5¦3)/((9¦5) )=0,4762

La probabilidad de que la mesera se rehusé a vender alcohol a 2 de los 9 estudiantes es del 47,62%

b. ¿Cuál es la probabilidad de que al revisar las identificaciones de los 5 estudiantes del grupo de 9, no encuentre ninguna que no sea de alguno que no tenga la edad legal para beber?

Aplicando la misma función de probabilidad

P(X=2)=(4¦0)(5¦5)/((9¦5) )=0,0079

La probabilidad de que no encuentre a ningún estudiante si la edad legal para beber es inferior al 1%.

Suponga que la probabilidad de que una persona dada crea un rumor acerca de las transgresiones de cierta actriz famosa es de 0,8. Cuál es la probabilidad de que:

La

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