Estanques acumuladores en serie

Control de Procesos

Tarea Nº1

Integrantes

Francisco Lobos F.

Gonzalo Santander P.

Fecha Entrega

08-Septiembre-2015

Profesor

Javier Silva C.

Estanques acumuladores en serie

Se alimenta al estanque 1 dos corrientes a diferentes concentraciones. La salida se inyecta a un segundo estanque, donde se alimenta una tercera corriente a concentración.

[pic 3]

Figura 1: Estanques de acumulación en serie.

Grados de libertad

Análisis de grados de libertad estanque 1

Análisis de grados de libertad estanque 2

Análisis de grados de libertad global

Consideraciones

• Mezcla perfecta en ambos estanques.
• Áreas basales de estanques iguales y constantes.
• Densidades iguales para los flujos                  

Modelación

Balance volumétrico

[pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

Balance de energía aplicando ecuación de Bernoulli

[pic 8]

Consideraciones

• [pic 9]
• [pic 10]
• [pic 11]
• Despreciamos las perdidas por fricción y el trabajo.

Según esto, la ecuación queda expresada de la siguiente forma:

[pic 12]

Ahora, sabiendo que:

[pic 13]

Reemplazando:

[pic 14]

Luego, despejando :[pic 15]

[pic 16]

Separando la variable de la altura del resto de los valores constantes, obtenemos finalmente:

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

Balance de masa

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[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

Siguiendo el mismo procedimiento para el estanque 2, obtenemos las siguientes ecuaciones:

[pic 28]

[pic 29]

Estado natural

Para el estado natural, asumimos todos los datos constantes, a excepción de nuestra variable a controlar, que sería nuestra concentración final a la salida del segundo estanque de acumulación.

Partiendo con la primera ecuación que describe cómo cambia la concentración con el tiempo en el estanque 1:

[pic 30]

El método de resolución para encontrar el estado natural de esta ecuación fue mediante la Transformada de Laplace, pero para poder aplicar este método, se deberá convertir el factor  a una Serie de Taylor, ya que no hay una Transformada de Laplace para dicha función.[pic 31]

[pic 32]

Reemplazando esta ecuación en nuestra ecuación diferencial, obtenemos lo siguiente:

[pic 33]

Multiplicando término a término, se desarrolla de la siguiente forma:

[pic 34]

Además de eso, en el último termino nos queda una multiplicación entre  y , lo cual tampoco Laplace nos permite desarrollar, así que deberemos aplicar una Serie de Taylor nuevamente para este caso.[pic 35][pic 36]

[pic 37]

Aplicando el método de Transformada de Laplace, obtenemos lo siguiente:

[pic 38]

[pic 39]

Reemplazando las constantes   y agrupando términos semejantes:[pic 40]

[pic 41]

Ahora, nos quedó una función  dentro de nuestra ecuación, la cual la podemos obtener de la siguiente forma:[pic 42]

[pic 43]

Desarrollando una Serie de Taylor para :[pic 44]

[pic 45]

Reemplazando:

[pic 46]

Aplicando Transformada de Laplace:

[pic 47]

[pic 48]

[pic 49]

[pic 50]

[pic 51]

[pic 52]

De forma similar, trabajamos con la segunda ecuación de altura de estanque:

[pic 53]

Aplicado Serie de Taylor a las raíces:

[pic 54]

[pic 55]

Reemplazamos:

[pic 56]

Aplicando Transformada de Laplace:

[pic 57]

Finalmente, despejando , obtenemos:[pic 58]

[pic 59]

Luego de esto, seguimos el mismo procedimiento para las dos ecuaciones restantes:

[pic 60]

Igual que en los desarrollos anteriores, nos topamos con el problema de que la Transformada de Laplace no aplica para ciertas funciones, por lo que se debe aplicar Serie de Taylor nuevamente.

[pic 61]

[pic 62]

[pic 63]

Reemplazando las Series de Taylor en nuestra ecuación diferencial de concentración, y aplicando Transformada de Laplace, obtenemos lo siguiente:

[pic 64]

[pic 65]

Despejando  y reemplazando constantes expresadas anteriormente de la siguiente forma:[pic 66]

Ɵ = [pic 67]

[pic 68]

€ [pic 69]

∂ [pic 70]

Obtenemos la siguiente expresión:

[pic 71]

Posteriormente, le aplicamos límite cuando [pic 72]

[pic 73]

Sabiendo que:

[pic 74]

[pic 75]

[pic 76]

Reemplazamos en el límite y finalmente obtenemos nuestra expresión que representa el estado natural de nuestro sistema:

[pic 77]

Modeladas ya las ecuaciones para el estado estacionario, procedemos a darnos una serie de datos arbitrarios para poder calcular los valores en este punto.

Datos a utilizar

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