Etapa 1 y 2 probabilidad y estadística.,.

Actividad de Aplicación

Parte 1. Principio fundamental de conteo, permutaciones y combinaciones.

1. Existen tres rutas diferentes de camión para ir de la prepa a la casa de Juan y dos rutas distintas para ir de la casa de Juan a la casa de Adriana. ¿De cuántas formas distintas se podría ir de la prepa a la casa de Juan y luego a la casa de Adriana?

1. En un restaurante se ofrece el siguiente menú: consomé, crema de verduras o sopa de pasta, arroz o espagueti y enchiladas rojas de pollo, filete de pescado o filete de res. ¿De cuántas maneras es posible elegir una comida completa?

1. ¿De cuántas maneras se puede contestar un examen de 8 preguntas con tres opciones de respuesta?

1. ¿De cuántas maneras se pueden acomodar tú y 5 amigos alrededor de una mesa?

1. De un grupo de 6 amigos, determina lo siguiente:

1. ¿De cuántas maneras pueden hacer una fila?

1. Si solamente se toman en cuenta 4 de los 6 amigos, ¿de cuántas maneras pueden hacer una fila? Argumenta tu respuesta con el uso del principio fundamental de conteo. ¿Se trata de una permutación o una combinación? Utiliza la fórmula correspondiente y compara tus resultados con los de tus compañeros.

1. Si se seleccionan 3 de los 6 amigos para formar un equipo y dar una clase de Ciencias Sociales, ¿de cuántas maneras pueden formar el equipo?

1. Si se seleccionan 3 de los 6 amigos para formar un equipo, el cual constará de un representante, un suplente y un tesorero, ¿de cuántas maneras pueden formar el equipo?

Parte 2. El teorema del binomio.

1. Realiza una consulta bibliográfica o por internet acerca del modelo conocido como triángulo de Pascal y responde las siguientes cuestiones:

1. ¿Cómo se construye el triángulo de Pascal con el desarrollo de un binomio?

1. ¿Cuál es la relación del triángulo de Pascal con el desarrollo de un binomio?

1. ¿Cuál es la relación entre las potencias de cada término en el desarrollo de un binomio, por ejemplo en (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³?

1. Determina el desarrollo del binomio (a+b)⁶.

1. Usando la expresión para determinar el número de combinaciones de “n” elementos tomados de “r” en “r”, determina las siguientes combinaciones y compara tus resultados con los coeficientes del desarrollo del binomio (a+b)⁶.

C(6,0)    C(6,1)     C(6,2)     C(6,3)     C(6,4)     C(6,5)     C(6,6)

1. En equipos, binas, o como tu maestro indique, investiga y describe el teorema del binomio y en sesión plenaria, discute con tus compañeros su notación, desarrollo y aplicación en conteos.

El teorema del binomio es una fórmula (por esto se llama también fórmula del binomio) con la cual se puede escribir directamente los términos del desarrollo de una potencia entera y positiva de un binomio. Para formarnos una idea de la estructura del desarrollo de [pic 1]: Por multiplicación directa podemos obtener

[pic 2]

[pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

De acuerdo con estos desarrollos nos podemos dar una idea acerca de la ley que siguen en su formación:

1. Si el exponente del binomio es n, hay n+1 términos en el desarrollo.
2. Para cada valor de n, el desarrollo de [pic 7] empieza con [pic 8] y termina con [pic 9]. En cada término los exponentes de a y b suman n.
3. Las potencias de a disminuyen de 1 en 1 al pasar de cada término al siguiente. La b aparece por primera vez en el segundo término con exponente 1 que aumenta de 1 en 1. El exponente de b siempre es una unidad menor que el número de orden del término.
4. El primer coeficiente es la unidad, el de cualquier otro término se obtiene multiplicando en el término anterior su coeficiente por el exponente de a y dividiendo ese producto entre el número de términos anteriores al que se trata de formar.

1. Resuelve los siguientes planteamientos usando el desarrollo de un binomio:

1. Se lanzan al aire 5 monedas y se observa el resultado, ¿de cuántas formas se pueden presentar los resultados?, ¿cuántos de estos resultados constan de 2 águilas y 3 soles?

1. Un cuestionario está formado por 6 preguntas que se pueden responder con las opciones falso o verdadero. ¿De cuántas maneras se puede responder el cuestionario contestando con 2 respuestas falsas y 4 verdaderas?

Actividad Integradora

Elabora un documento en el que incluyas aplicaciones que involucren:

• Principio fundamental de conteo.
• Permutaciones.
• Combinaciones.
• Teorema del binomio.

Principio fundamental de conteo.

¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona no puede obtener más de un premio?

Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el primer premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el número de maneras distintas de repartir los tres premios.

10 x 9 x 8 = 720

    ¿Cuántas placas de automóvil se pueden hacer utilizando dos letras seguidas de tres cifras? No      

    se admiten repeticiones.

26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 468000

Permutaciones

¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5?

[pic 10]

¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?

[pic 11]

Combinaciones

En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?

[pic 12]

¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?

[pic 13]

Teorema del binomio

(a+b)³ =  1a³b⁰ + 3a²b¹ + 3a¹b² + 1a⁰b³

(z+y)⁶ = 1z⁶y⁰ + 6z⁵y¹ + 15z⁴y² + 20z³y³ + 15z²y⁴ + 6z¹y⁵ + 1z⁰y⁶

Actividad de adquisición del conocimiento

1. Probabilidad: Cálculo matemático de las posibilidades que existen de que una cosa se cumpla o suceda al azar.
2. Experimento: Prueba que consiste en provocar un fenómeno en unas condiciones determinadas con el fin de analizar sus efectos o de verificar una hipótesis o un principio científico.
3. Resultado: Efecto o cosa que resulta de cierta acción, operación, proceso o suceso.
4. Espacio muestral: Consiste en el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio, junto con una estructura sobre el mismo.
5. Evento o suceso: Es un subconjunto de un espacio muestral, es decir, un conjunto de posibles resultados que se pueden dar en un experimento aleatorio.
6. Evento seguro: Es aquel cuya probabilidad de ocurrencia es igual a 1. Un evento seguro es el que siempre aparece en un experimento.
7. Evento imposible: Es aquel que tiene probabilidad cero y nunca ocurre.
8. Evento simple: Es un evento con un solo resultado.
9. Evento compuesto: Es un evento que incluye dos o más eventos independientes. La probabilidad es la ciencia que trata de cuantificar los posibles resultados de un experimento en el cual está presente la incertidumbre o la aleatoriedad.
10.  Experimento aleatorio: Un experimento aleatorio es aquel del que no podemos predecir su resultado, es decir, que depende de la suerte o azar.
11.  Experimento determinístico: Es un experimento o fenómeno que da lugar a un resultado cierto o seguro, es decir, cuando partiendo de unas mismas condiciones iniciales tenemos la certeza de lo que va a suceder.
12.  Enfoques de probabilidad:

1. Probabilidad subjetiva: Se basan en la creencias e ideas en que se realiza la evaluación de las probabilidades y se define como en aquella que un evento asigna el individuo basándose en la evidencia disponible (el individuo asigna la probabilidad en base a su experiencia).
2. Probabilidad frecuencial: Es aquel en donde se repite el experimento aleatorio un número determinado de veces, se registran los datos y se divide el número de veces que se obtiene el resultado que nos interesa, entre el número de veces que se realizó el experimento.
3. Probabilidad clásica: Es el número de resultados favorables a la presentación de un evento dividido entre el número total de resultados posibles. Asignación de probabilidad "a priori", si necesidad de realizar el experimento.

Actividad de aplicación

Parte 1. Probabilidad de eventos simples

Define los siguientes conceptos:

• Espacio muestral: Consiste en el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio, junto con una estructura sobre el mismo.
• Probabilidad: Cálculo matemático de las posibilidades que existen de que una cosa se cumpla o suceda al azar.

Resuelve los siguientes ejercicios sobre el cálculo de probabilidades.

1. Si se lanzan dos monedas, ¿cuál es la probabilidad de que caigan dos soles?

1. Si se lanzan dos dados, uno blanco y uno rojo, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de sus caras sea 6?

1. Una pareja planea tener 4 hijos:

1. Determina el número de formas posibles (mujer o varón) en que se puedan presentar los cuatro hijos.

1. Determina la probabilidad de que tengan 3 varones y una mujer.

1. Determina la probabilidad de que tengan 2 varones y 2 mujeres.

1. Determina la probabilidad de que tengan solamente mujeres.

Parte 2. Probabilidad de eventos compuestos: regla de la adición.

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