FORMULAS. Para el sistema S
Alexandra SelenaTarea24 de Noviembre de 2018
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Para el sistema S:
- Una condición pesaría y suficiente para controlabilidad completa del estado es que el rango de la matriz n x nr
[pic 1]
- Una condición necesaria y suficiente para observabilidad completa es que el rango de la matriz n x nm
[pic 2]
Sea n.
Para el sistema S2
- Una condición necesaria y suficiente para controlabilidad completa del estado es que d rango de la matriz n x nm
[pic 3]
Sea n.
- Una condición necesaria y suficiente para observabilidad completa es que el rango de h matriz de n x nr
[pic 4]
Si se comparan estas condiciones, la verdad de este principio es evidente. A partir de él, la observabilidad de un sistema determinado se verifica probando la controlabilidad del estado de su estado de su dual
Dectectabilidad. Para un sistema parcialmente observable, si los modos no observables son estos y los modos observables son inestables, se dice que es detectable. Obsérvese que el conceptos de detectabilidad es dual al concepto de estabilizabilidad.
EJEMPLO DE PROBLEMAS Y SOLUCIONES
Sea el sistema representado mediante la función de transferencia definida por la Ecuación (11.) vuelta a escribir como
[pic 5]
(11.68)
Obtenga la siguiente forma canónica controlable de la representación en el espacio de estados, para este sistema representado mediante la función de transferencia:
[pic 6]
[pic 7]
Solución. La Ecuación (11.68) puede escribirse como
[pic 8]
que puede modificarse a
[pic 9]
donde
[pic 10]
Se reescribe esta última ecuación en la forma siguiente:
[pic 11]
[pic 12]
A partir de esta última ecuación, se obtienen las dos ecuaciones siguientes:
[pic 13]
[pic 14]
[pic 15]
Se definen las variables de estado del modo siguiente:
[pic 16]
[pic 17]
[pic 18]
[pic 19]
Resulta evidente que
[pic 20]
[pic 21]
[pic 22]
[pic 23]
Que puede volver a escribirse como
[pic 24]
[pic 25]
[pic 26]
Teniendo en cuenta que snQ(s) = sXn(s), la Ecuación (11.72) se puede reescribir como
[pic 27]
[pic 28]
Asimismo, a partir de las Ecuaciones (11.71) y (11.73) se obtiene
[pic 29]
(11.7)[pic 30]
[pic 31]
[pic 32]
La transformada inversa de Laplace de esta ecuación de salida es
[pic 33]
Combinando las Ecuaciones (11.74) y (11.75) en una ecuación diferencial matricial, se obtiene la ecuación (11.69). La Ecuación (11.76) puede reescribirse como la obtenida mediante la Ecuación (11.70). Se dice que las Ecuaciones (11.69) y (11.70) están en su forma canónica controla.- La Figura 11.1 muestra la representación en diagrama de bloques del sistema definido mente las Ecuaciones (I 1.69) y (11.70).
Sea el sistema representado mediante la función de transferencia siguiente:
[pic 34]
[pic 35][pic 36][pic 37][pic 38]
[pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43]
[pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52][pic 53]
[pic 54][pic 55][pic 56][pic 57]
[pic 58][pic 59][pic 60][pic 61]
Figura 11.1. Representación en diagramas de bloques del sistema definido por las Ecuaciones (11.69) y (11.70) (forma canónica controlable).
Obtenga la siguiente forma canónica observable de la representación en el espacio de estados para este sistema representado mediante la función de transferencia:
(11.78)[pic 62]
[pic 63]
Solución. La Ecuación (11.77) puede modificarse a
[pic 64]
[pic 65]
Dividiendo la ecuación completa entre s" y reagrupando términos, se obtiene
[pic 66]
[pic 67]
Se definen las variables de estado de la forma siguiente:
[pic 68]
[pic 69]
[pic 70]
[pic 71]
[pic 72]
[pic 73]
La Ecuación (11.80) se puede escribir como
[pic 74]
Al sustituir la Ecuación (11.82) en la Ecuación (11.81) y multiplicando ambos miembros de la ecuación por s, se obtiene
[pic 75]
[pic 76]
[pic 77]
[pic 78]
[pic 79]
Tomando las transformadas inversas de Laplace de las n ecuaciones precedentes y escribiéndolas en el orden inverso, se obtiene
[pic 80]
[pic 81]
[pic 82]
[pic 83]
[pic 84]
También, la transformada inversa de Laplace de la Ecuación (I 1.82) da
[pic 85]
Si se reescriben las ecuaciones de estado y de salida en la forma estándar matricial, se obtienen as Ecuaciones (11.78) y (11.79). La Figura 11.2 muestra una representación en diagrama de bloques del sistema definido mediante las Ecuaciones (11.78) y (11. 79).
[pic 86][pic 87][pic 88][pic 89]
[pic 90][pic 91][pic 92][pic 93][pic 94]
[pic 95][pic 96][pic 97][pic 98][pic 99][pic 100][pic 101][pic 102][pic 103][pic 104][pic 105][pic 106]
[pic 107][pic 108][pic 109]
[pic 110][pic 111][pic 112][pic 113]
Figura 11.2. Representación en diagramas de bloques del sistema definido por las Ecuaciones (11.78) y (11.79) (forma canónica observable).
Análisis de sistemas de control en el espacio de estados sistema representado por la función de transferencia siguiente.
[pic 114]
[pic 115]
Donde pObtenga la representación en el espacio de estados de este sistema en la siguiente forma canónica diagonal:[pic 116]
[pic 117]
[pic 118]
Solución. La Ecuación (11.83) puede escribirse como[pic 119][pic 120]
Se definen las variables de estado del modo siguiente
[pic 121]
[pic 122]
[pic 123]
[pic 124]
Que se puede reescribir como
[pic 125]
[pic 126]
[pic 127]
[pic 128]
Las transformadas inversas de Laplace de estas ecuaciones dan
[pic 129]
[pic 130]
[pic 131]
[pic 132]
Estas n ecuaciones forman una ecuación de estado.
En términos de las variables de estado X1(s), X2(s), Xn la Ecuación (11.86) se escribe como
[pic 133]
La transformada inversa de Laplace de esta última ecuación es
[pic 134]
que es la ecuación de salida.
La Ecuación (11.87) se puede expresar en la forma matricial dada por la Ecuación (11.88) La Ecuación (11.88) se puede poner en el formato de la Ecuación (11.85).
La Figura 11.3 muestra una representación en diagrama de bloques del sistema definido mediante las Ecuaciones (11.84) y (11.85).
Observe que, si se eligen las variables de estado como[pic 135]
[pic 136]
[pic 137]
[pic 138]
[pic 139][pic 140][pic 141][pic 142][pic 143]
[pic 144][pic 145][pic 146][pic 147][pic 148][pic 149]
[pic 150][pic 151]
[pic 152][pic 153][pic 154][pic 155][pic 156]
[pic 157][pic 158][pic 159][pic 160]
[pic 161][pic 162]
Figura 11.3. Representación en diagramas de bloques del sistema definido por las Ecuaciones (11.84) y (11.85) (forma canónica diagonal).
Entonces se obtiene una representación en el espacio de estados ligeramente diferente. Esta elección de vana- bies de estado da
[pic 163]
[pic 164]
[pic 165]
[pic 166]
de donde se obtiene
[pic 167]
[pic 168]
[pic 169]
[pic 170]
Teniendo en cuenta la Ecuación (11.86). la ecuación de salida es
[pic 171]
De donde se obtiene
[pic 172]
Las Ecuaciones (11.89) y (11.90) dan la siguiente representación en el espacio de estados para el sistema:
[pic 173]
[pic 174]
Sea el sistema definido por
[pic 175]
que contiene un polo triple en s = (Se supone que, a excepción de (as eres primeras p. que son iguales, las p¡ son diferentes entre sí.) Obtenga la forma canónica de Jordán de la representación en el espacio de estados de este sistema.[pic 176]
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