FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS.VECTORES PROPIOS

ÍNDICE.

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS.                                PAGINAS

1. NOTACIÓN INDICIAL.

1. OPERACIONES DE TENSORES.

1. MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DE VALORES Y

VECTORES PROPIOS.

1. GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL.

1. TEOREMAS DE GREEN Y STOKES.

BIBLIOGRAFÍA.

1. Notación indicial.

El convenio de sumación de Einstein, notación de Einstein o notación indicial a la convención utilizada para abreviar la escritura de sumatorios, en el que se suprime el símbolo de sumatorio (representado con la letra griega sigma - Σ). El convenio fue introducido por Albert Einstein en 1916. Se aplica en matemáticas en especial a los cálculos realizados en álgebra lineal destinados a la física. El convenio se aplica sólo a sumatorias sobre índices repetidos. El convenio se usa especialmente con tensores donde es muy frecuente la operación de suma sobre índices repetidos y sería muy fatigoso escribir explícitamente los signos de sumatorios.

Definición. Dada una expresión lineal en [pic 1] en la que se escriben todos sus términos de forma explícita:

[pic 2]

Esta puede expresarse convencionalmente como el sumatorio:

[pic 3]

La notación de Einstein obtiene una expresión aún más condensada eliminando el signo de sumatorio y entendiendo que en la expresión resultante un índice indica suma sobre todos los posibles valores del mismo.

[pic 4]

Índice. Un índice utilizado en la notación de Einstein puede aparecer en forma de producto hasta dos veces en mismo término de una expresión, por lo que las siguientes expresiones son válidas:

[pic 5]

                        [pic 6][pic 7]

Y las siguientes expresiones no se encuentran definidas o son inválidas:

[pic 8]

[pic 9]

En cálculo de tensores es también común utilizar una de las ocurrencias como un subíndice y la otra como un superíndice. Por ejemplo, en la siguiente expresión en[pic 10].

[pic 11]

Un índice que se repite dos veces en el mismo término de una ecuación se conoce como índice mudo, por ejemplo:

[pic 12]

Un índice que se repite en cada uno de los términos de una expresión a excepción de los términos constantes se conoce como índice libre:

[pic 13]

Los índices libres no se expanden en forma de sumatorio, sino que representan un sistema de ecuaciones independientes.

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

Representación vectorial.Se emplea el convenio de Einstein en Álgebra lineal para distinguir fácilmente entre vectores columna y vectores fila. Se puede, por ejemplo, poner índices sobre-escritos para representar elementos en una columna e índices subscritos para representar elementos en una fila. Siguiendo esta convención, entonces:

 Para [pic 17][pic 18]

Representa  vector fila y representa vector columna.[pic 19][pic 20]

 Para  [pic 21][pic 22]

En matemática y en física teórica y en particular en la relatividad general, los vectores fila representan vectores contravariantes mientras que los vectores columna representan vectores covariantes.

1. Operaciones de Tensores.

Producto tensorial y producto exterior.Dados dos tensores se puede definir entre ellos el llamado producto tensorial cuyo resultado es un tensor de tipo más complejo cuyas componentes pueden obtenerse a partir de los tensores originales.

El producto de dos tensores es un tensor cuyo rango es la suma de los rangos dados por los dos tensores. Este producto implica la multiplicación ordinaria de los componentes de un tensor y es llamado producto exterior.

Por ejemplo:

[pic 23]

Subir y bajar índices.En una variedad riemanniana existe la posibilidad de definir una operación sobre tensores, que en general no puede realizarse en una variedad cualquiera. Esa operación permite substituir en los cálculos un tensor de tipo [pic 24] por otro de tipo [pic 25] con tal que[pic 26]. Esta operación se denomina usualmente ley de subir o bajar índices.

Esa operación se basa en la existencia de un isomorfismos entre espacios de tensores covariantes y contravariantes definidos sobre una variedad riemanniana o pseudoriemanniana [pic 27]. Por tanto para emplear, la subida y bajada de índices es necesario usar el tensor métrico [pic 28](y su inverso[pic 29], llamado co-tensor métrico).

Estas operaciones resultan muy útiles en la teoría general de la relatividad donde cualquier magnitud física puede ser representada por tensores covariantes o contravariantes indistintamente, y sin alterar el significado físico, según las necesidades del problema planteado.

Así para cualquier magnitud física representada por un tensor de tercer rango, puede ser representado por varios conjuntos de magnitudes relacionables gracias a la operación de "subir y bajar índices":

[pic 30]

Contracción.La contracción de tensores es una operación que reduce el orden total de un tensor. Esta operación reduce un tensor tipo  a otro tipo . En términos de componentes, esta operación se logra sumando el índice de un tensor contravariante y un covariante. Por ejemplo, un tensor (1,1) [pic 33] puede ser contraído a un escalar a través de[pic 34]; donde el convenio de sumación de Einstein es empleado. Cuando el tensor (1,1) se lo interpreta como un mapeo lineal, esta operación es conocida como la traza.[pic 31][pic 32]

La contracción se utiliza usualmente con el producto tensorial para contraer el índice de cada tensor. La contracción puede también entenderse en términos de la definición de un tensor como un elemento de un producto tensorial de copias del espacio [pic 35] con el espacio [pic 36], descomponiendo primero el tensor en una combinación lineal de tensores más simples, y posteriormente aplicando un factor de [pic 37] a un factor de [pic 38]. Por ejemplo:

[pic 39]

Puede ser escrito como la combinación lineal de

[pic 40]

La contracción de [pic 41] en el primero y último espacio es entonces el vector:

[pic 42]

Producto interno. El producto interno de dos tensores se produce al contraer el producto exterior de los tensores. Por ejemplo, dados dos tensores [pic 43] y [pic 44] su producto externo es[pic 45]Igualando índices,[pic 46], se obtiene el producto interno: [pic 47].

1. Métodos para el cálculo de valores y vectores propios.

En álgebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar λrecibe el nombre valor propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios. Un espacio propio, autoespacio o eigenespacio es el conjunto de vectores propios con un valor propio común.

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