Factorización utilizando el máximo común divisor mejor conocida como la técnica de factor común

 Tema: Factorización  utilizando el  máximo común divisor           mejor conocida como la técnica de factor común.      

Esta técnica está basada en la  Propiedad distributiva:      [pic 1]

Ejemplo:                  

1. Factorice   [pic 2]                Se busca el  máximo común divisor   entre los dos términos.

En este caso el 7 es factor de 7 y del 14, la x es factor   de x2 y de la x. Siendo el mayor o máximo en ambos casos. Por lo tanto,   es el factor común.  Utilizando este factor se reescribe la expresión:[pic 3]

   [pic 4]= [pic 5]         

1.  Factorice    [pic 6]       El    máximo común divisor    entre los dos términos es 20a 2 ya que el 20 es  factor  de 40 y el a 2 es  factor  de a 3.  Por lo tanto, 20a 2   es el factor común.  Utilizando este factor se reescribe la expresión:

[pic 7]        =      [pic 8]

 Ejercicios:    Halla el  máximo común divisor  y factoriza las siguientes expresiones:

1. [pic 9]

1.   [pic 10]

   Respuestas:

1. [pic 11]
2. [pic 12]

Ejemplo:   Factorice            y verifique su respuesta.[pic 13]

¿Qué  factor  tienen en común cada término de este trinomio?       El 3  y  la    [pic 14]

Por lo tanto:           [pic 15]

Verificamos nuestro resultado multiplicando.     [pic 16]

Ejemplos: Factoriza y verifique su respuesta.

   1.       [pic 17][pic 18]

2.     [pic 19]

1.   [pic 20]

1.   [pic 21]

1. [pic 22]

Ejemplo:  Factorice  [pic 23]

Respuesta:     [pic 24]

Ejercicios: Factorice

1. [pic 25]

1. [pic 26]
2. [pic 27]

1. [pic 28]

1. [pic 29]

Respuestas:

1. [pic 30]

2. [pic 31]

3. [pic 32]

4. [pic 33]

5.  [pic 34]

Factorizando por agrupación.  

Ejemplo 1.    Factorice:        ax + 2ay + 2bx + 4by

ax + 2ay + 2bx +4by      a (x + 2y) + 2b (x + 2y)             (a + 2b) (x+ 2y)   [pic 35][pic 36]

Ejemplo 2.      Factorice:        bx + 5by + 2wx + 10wy

        (bx + 5by) + (2wx + 10wy)      b (x + 5y) + 2w (x + 5y)  (b + 2w) (x + 5y)[pic 37][pic 38]

Ejemplo 3.    Factorice:        2x2 – 18y – 12x + 3xy             En este caso  primero,  reorganice los términos:

2x2 – 12x + 3xy – 18y

2x (x - 6) + 3y (x - 6)

(2x + 3y) (x – 6)

Practica:        5x2 – 12y + 4xy – 15x

Ejemplo 4. Factorice:        xy – 6 + 3x – 2y.      

        xy + 3x – 2y – 6            

        x (y + 3) – 2 (y + 3)

        (x – 2) (y + 3)

Practica: Factorice           xy – 12 – 4x + 3y

Ejemplo 5.  Factorice:    2x3 + 21 – 7x2 – 6x.  Verifique su respuesta.

        2x3 + 21 – 7x2 – 6x        Reorganice los términos

        2x3 – 7x2 – 6x + 21

        x2 (2x – 7) – 3 (2x – 7)

        (x2 – 3) (2x – 7)         Ver. 2x3 – 7x2 – 6x + 21

Practica: Factorice        2x3 – 15 – 10x + 3x2 y verifique su respuesta.

5.5 (7.6)

Tema: Factorizando Trinomios de la forma         x2 + bx + c

        Ejemplo         x2 + 9x + 20

X2 + 9x + 20                 20 = 20 x 1, 4 x 5 y 10 x 2         De estos productos  el único que suma  9 es 4 x 5 .

Por lo tanto (x + 4) (x + 5) es nuestra factorización.

Factorizando Trinomios de la forma x2 + bx + c.

1. La respuesta tiene la forma (x + m) (x + n), donde m y n son números reales.
2. Los números m y n son escogidos  de forma tal,  que tienen que cumplir con lo siguiente:

1ro.        m x n = c         y  2do.       m + n = b

1. De manera que:                (x + m) (x + n) = x2 + xn + xm +mn

                                 = x2 + x (n + m) + mn

                                = x2 + x (b) +c

                                = x2 + bx + c

Ejemplo1.          x2 – 13x – 48                                          Ejemplo 2.          x2 + 11x – 26 [pic 39][pic 40]

(x – 16) (x + 3)                                                        (x – 2) (x + 13)

Ejemplo 3.         x4 – 4x2 – 12                                            Ejemplo 4.          x4 + 2x2 – 15 =[pic 41]

          (x2 + 2) (x2 – 6)                                                                (x2 – 3) (x2 + 5)

   Practica:

1. x2 – 14x + 48                 = (x – 6) (x – 8)
2. x2 + 14 + 45                = (x + 5) (x + 9)
3. x6 – 3x3 – 4                = (x3 + 1) (x3 – 4)
4. x4 + 3x2 – 10                = (x2 – 2) (x2 + 5)

  Factorice :

Ejemplo 5.   x2 – 21xy – 20y2                                       Ejemplo 6.          x2 + 4xy – 21y2  [pic 42][pic 43]

                (x – 20y) (x – y)                                                 (x + 7y) (x – 3y)

Practica: Factorice

1. x2 – 16xy + 15y2

1. x2 + xy – 42y2

Ejemplo 7.  Factorice:     3x2 – 30x + 48      1ro  note,  que hay un factor común 3.

                = 3 (x2 – 10x + 16)

                = 3 (x – 8) (x – 2)

Practica:        4x2 – 44x + 72

Factorización  de   trinomios cuadráticos  de la forma   ax2 + bx + c.

Método: Para  factorizar  un trinomio de la forma ax2 + bx + c

1. Obtenga el  producto   a·c.
2. Encuentra la factorización del producto anterior (a·c),  de forma tal,  que la suma sea b.
3. Usa esos dos factores para escribir bx como la suma de esos dos términos.  Vea pasos 2 y 3 del  ejemplo.
4. Factorice por agrupación.

Ejemplo: Factorice        2x2 + 19x + 24

1. (a) (c) = (2) (24) = 48
2. Busque las parejas de 48

48 x 1                12 x 4                24 x 2                8 x 6                16 x 3

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