Figuras Topologicas

INTRODUCCION

En este trabajo se analizó el tema de figuras topológicas que nos dio a comprender lo importante que es hoy en día, ya que tiene una variedad de aplicaciones, abracando más a la tecnología que hoy en día es el motor del crecimiento socioeconómico a nivel mundial, generándonos mayor comodidad en las actividades rutinarias.

Se da a conocer las teorías en la cual se rige, después dando a conocer sus aplicaciones para comprender a fondo lo útil que es las figuras topológicas, a nivel del curso se analizara su importancia, dando a conocer sus utilidades y beneficios.

MARCO TEORICO

TOPOLOGIA

A mediados del siglo XIX comenzó un desarrollo completamente nuevo en geometría que pronto se convertiría en una de las grandes fuerzas de las matemáticas modernas. La nueva rama, llamada analysissitus (“análisis de la posición”) o topología, tiene como objeto de estudio las propiedades de las figuras geométricas que permanecen invariantes al someterlas a deformaciones continuas, por lo que también es conocida como geometría de la láminaelástica.

Dice un chiste que unatopología no distingue entre una taza de café y una rosquilla porque ambas son iguales desde un punto de vista topológico (si la taza estuviese hecha de plastilina podríamos deformarla continuamente hasta obtener la forma de una rosquilla).

Sin embargo una magdalena no es topológicamente equivalente a unarosquilla porque ´esta tiene un agujero y la primera no (el número de agujeroses un invariante topológico).

Otro invariante topológico es el número de caras de una superficie: unaesfera o un cilindro tienen dos caras (una interior y otra exterior que podríapintarse de colores distintos sin que estos colores se encontrasen).

Sin embargo una banda de Moebius, que se obtiene a partir de una cinta de papel a la que damos un giro antes de pegar por el borde, tiene una sola cara.

LA FÓRMULA DE EULER PARA LOS POLIEDROS

Aunque la topología es una creación de los últimos 150 años, antes hubo algunos descubrimientos aislados que encontraron su lugar en el desarrollo sistemático moderno. El más importante de estos descubrimientos es una formula que relaciona el número de vértices, de aristas y de caras de un poliedro simple, la cual fue observada en 1640 por Descartes y redescubierta y utilizada por Euler en 1752.

En un poliedro simple si V denota el número de vértices, A el número de aristas y C el número de caras entonces siempre se cumple la igualdad

V − A + C = 2

Recuerda que un poliedro es un sólido cuya superficie consta de un cierto número de caras poligonales. Un poliedro es simple si no tiene “agujeros”, de manera que su superficie puede deformarse continuamente en la superficie deuna esfera.

EL TEOREMA DEL PUNTO FIJO DE BROUWER

En las aplicaciones de la topología a otras ramas de las matemáticas los teoremas de “punto fijo” desempeñan un papel importante. Un ejemplo típico es el siguiente teorema de Brouwer: consideremos un disco circular en el plano,

i.e., la región que consta del interior de un circulo junto con su circunferencia, y supongamos que sus puntos son sometidos a cualquier transformacióncontinua bajo la cual cada punto permanece dentro del círculo pero situado de manera diferente. Por ejemplo un disco delgado hecho de hule puede ser aplastado, girado, doblado, estirado o deformado (pero no rasgado) de cualquier manera siempre y cuando la posición final de cada punto del disco permanezca dentro de su circunferencia original. O por ejemplo la superficie de una taza de café puede ser agitada de tal modo que las partículas sobre la superficie permanezcan en está pero cambien de posición.

El teorema del punto fijo de Brouwerestablece que cada una de tales transformaciones deja al menos un punto fijo o invariante, es decir, existe al menos un punto cuya posicióndespués de la transformación sigue siendo la misma que tenía originalmente.

En el caso de la taza de café podemos afirmar que al terminar de removerla (no importa como lo hagamos ni durante cuánto tiempo) hay al menos un punto que ocupa la misma posición que tenía al principio.

Es digno de mención que el matemático J. F. Nash (en cuya vida se basó la película “Una mente maravillosa”) utilizo una versión general del teorema del punto fijo de Brouwer para demostrar la existencia de un equilibrio para un juego no cooperativo con varios jugadores, lo que le valió el premio Nobel de

Economía de 1994.

EL TEOREMA DE LA CURVA CERRADA DE JORDAN

Imagina que una curva cerrada simple (una que no se interseca consigo misma) está trazada en el plano. ¿Qué propiedad de esta figura persiste incluso si el plano se considera como una láminade goma que puede ser deformada de cualquier manera? La longitud de la curva y el área que encierra pueden cambiar con una deformación. Sin embargo hay una propiedad topológicamuy sencilla que permanece: una curva cerrada simple C siempre divide el plano en exactamente dos dominios, el interior y el exterior de dicha curva.

Esta afirmación es obviamente verdadera para un círculo o una elipse pero la autoevidencia se desvanece si se considera una curva más complicada como esta.

Este teorema fue establecido por primera vez por Camille Jordan

(1838-1922) en su famoso libro Coursd’Analyse, del cual una generacióncompleta de matemáticosaprendió el concepto moderno de rigor en el análisis.

Las primeras demostraciones rigurosas del teorema eran muy complicadas y difíciles de entender aun para muchos matemáticos bien entrenados. Una

de las razones de la dificultad radica en la generalidad del concepto “curva cerrada simple “qué incluye todas las curvas que son imágenestopológicas de un círculo. Por otra parte, muchos conceptos tales como “interior”, “exterior”,etc , que son tan claros para la intuición, deben precisarse para que sea posible una demostración rigurosa.

EL TEOREMA DE LOS CUATRO COLORES

A partir del ejemplo anterior podría pensarse que la topología se ocupa de demostrar rigurosamente afirmaciones obvias de las que ninguna persona en su sano juicio dudaría. Al contrario, hay cuestiones topológicas muy sencillas de plantear, y para las que la intuición no ofrece respuestas satisfactorias.

Un ejemplo de este tipo es el famoso “teorema de los cuatro colores”.

Cuando se colorea un mapa geográfico se acostumbra utilizar colores distintos para países que tengan una porción de su frontera en común. Se ha encontrado empíricamente que cualquier mapa, sin importar cuantos paísestenga ni como estén situados, puede ser coloreado de esa manera usando sólocuatro colores. Es fácil ver que un número menor de colores no bastaría para todos los casos.

El teorema de los cuatro colores afirma que para cualquier subdivisión del plano en regiones que no se solapen siempre es posible colorear cada una de las regiones con uno de los colores rojo, azul, verde y amarillo de tal manera que no haya dos regiones adyacentes pintadas con el mismo color (por “regiones adyacentes “se hace referencia a aquellas regiones con un segmento de frontera en común. Dos regiones que se toquen en un único punto o en un númerofinito de puntos, como los estados de Arizona y Colorado en E.E.U.U., no se llamarán adyacentes).

El problema de demostrar este teorema fue propuesto por Moebius en

1840, por De Morgan en 1850 y por Cayley en 1878. Kempe público una

“demostración“en 1879, pero en 1890 Heawood encontró un error en los argumentos de Kempe.

Finalmente el resultado fue probado por Appel y Haken en 1977 construyendo una demostración asistida por ordenador. Sin embargo, debido a que una parte importante de la prueba consiste en un análisis exhaustivo de muchos casos utilizando un ordenador (y por tanto ningún ser humano puede verificarla en su totalidad) algunos matemáticos no la han aceptado.

Sin duda este teorema ha abierto un interesantísimo debate en la comunidad

Matemática sobre la naturaleza de las demostraciones matemáticas y en ´último caso sobre la actividad matemática en sí misma.

HISTORIA

Históricamente, las primeras ideas topológicas conciernen al concepto de límite y al de completitud de un espacio métrico, y se manifestaron principalmente en la crisis de los inconmesurables de los pitagóricos, ante la aparición de números reales no racionales. El primer acercamiento concreto al concepto de límite y también al de integral aparece en el método de exhaución de Arquímedes. La aparición del Análisis Matemático en el siglo XVII puso en evidencia la necesidad de formalizar los conceptos de proximidad y continuidad, y la incapacidad de la Geometría para tratar este tema. Fue precisamente la fundamentación del Cálculo Infinitesimal, así como los intentos de formalizar el concepto de variedad en Geometría lo que llevó a la aparición de la Topología, a finales del siglo XIX y principios del XX.

Se suele fechar el origen de la Topología con la resolución por parte de Euler del problema de los puentes de Königsberg, en

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