Flexion

UNIDAD IV

4 Flexion

4.1 Fuerzas internas

4.1.1 Diagrama de fuerza cortante y momento flector

4.1.2 Relacion entre cargas fuerza cortante y momento flector

4.2 Esfuerzo en vigas

4.2.1 Esfuerzo normal

4.2.2 Esfuerzo cortante transversal

4.2.3 Diseño de viga por resistencia

4.3 Deflexion en vigas

4.3.1 Metodo de la doble integracion

4.3.2 Metodo de superposicion

FLEXIÓN

• La flexión es un concepto muy importante, ya que se abarca interesantes campos de resistencia a los materiales y se utiliza en diferentes aspectos como en el diseño de muchos componentes estructurales y de maquinas, tales como vigas y trabes. Se le puede llamar también a la deformación que presenta un elemento estructural alargado en una dirección perpendicular a su eje longitudinal. Un caso típico son las vigas, las que están diseñadas para trabajar, principalmente por flexión, existen mas elementos estructurales en las que se puede aplicar flexión, tales como placas o laminas.

El rasgo más destacado es que un objeto sometido a flexión presenta una superficie de puntos llamada fibra neutra tal que la distancia a lo largo de cualquier curva contenida en ella no varía con respecto al valor antes de la deformación, ejemplo:

Analiza los elementos prismáticos sometidos a pares iguales y opuestos M y M’ que actúan en el mismo plano longitudinal. Es cuando se dice que están sujetos a flexión pura. .

• Se denomina momento flector a un momento de fuerza resultante de una distribución de tensiones sobre una sección transversal de un prisma mecánico flexionado o una placa que es perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexión.

Para los elementos lineales de un momento flector〖 M〗_((x)) se define como una función a lo largo del eje transversal del mismo, donde "x" representa la longitud a lo largo del eje. El momento flector, con las condiciones de equilibrio ya dadas, coincide con la resultante de fuerzas de todas las fuerzas situadas a uno de los dos lados de la sección en equilibrio en la que pretendemos calcular el momento flector. Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas, cargas distribuidas y momentos, el diagrama de momento flector varía a lo largo del mismo. Así mismo las cargas estarán completadas en secciones y divididas por tramos de secciones.

Método de las secciones

El primer método que se usa para la construcción de diagramas de momentos es el método de secciones, el cual consiste en realizar cortes imaginarios a lo largo de un elemento y aplicar las ecuaciones del equilibrio. Supóngase que se realiza un corte imaginario sobre una viga, como la pieza continúa en su lugar, se puede considerar que se encuentra empotrado a la otra parte de la viga, por lo que existen reacciones que impiden el desplazamiento. En el caso del momento, es posible realizar una suma de momentos en el punto en el que se realizó el "corte". Se debe contar cada fuerza, carga distribuida y momento hasta donde se realizó el corte. En el método de secciones es necesario realizar un corte por cada factor que cambie la distribución del diagrama de momentos.

Método de los tramos

Otro método usado para la construcción de diagramas de momentos son las funciones discontinuas, que sirve para construir una función continua a tramos. En el caso de que un elemento estuviera sometido a varias fuerzas, cargas y momentos la cantidad de cortes que serían necesarios vuelve al procedimiento tedioso y repetitivo. Si se observa con cuidado, la ecuación de momento aumenta un término por cada corte que se realiza debido a la nueva fuerza, carga distribuida o momento que se agrega. El uso de las funciones discontinuas consiste en agregar funciones que se "activen" cuando se llega a cierta posición (donde antes se colocaba el corte). Estas funciones se definen como sigue:

Método de la integración directa

Otra posibilidad es usar fórmulas vectoriales directas, si se tienen fuerzas puntuales y reacciones verticales aplicadas en los puntos , una carga distribuida continua q(x) y momentos puntuales situados a la derecha de la sección, el momento flector total puede calcularse directamente como:

Donde la suma sobre i se extiende hasta k dado por la condición . La anterior función será continua si y sólo si todos los momentos puntuales se anulan, y será diferenciable si sólo existe carga continua q. Cuando las fuerzas puntuales no sean todas nulas la función será continua a tramos.

• Relación entre la carga y la fuerza cortante:

V-(V+∆V)-w∆x=0

dV/(dx )=lim ∆V/∆x= -w dV/dx=-w

V_D-V_C=-∫_(X_C)^(X_D)▒wdx= -(area bajo la curva)

Relación entre la fuerza cortante y el momento flector

(M+∆M)-M-V∆x+w∆x ∆x/2=0

dM/dx=lim ∆M/dx=lim⁡( V-1/2 w∆x)=V

M_D-M_C=∫_(X_c)^(X_D)▒〖Vdx= 〗 (area bajo la curva de cortante) dM/dx=V

4.1 FUERZAS INTERNAS

Los esfuerzos internos sobre una sección transversal plana de un elemento estructural se definen como un conjunto de fuerzas y momentos estáticamente equivalentes a la distribución de tensiones internas sobre el área de esa sección.

Así, por ejemplo, los esfuerzos sobre una sección transversal plana Σ de una viga es igual a la integral de las tensiones t sobre esa área plana. Normalmente se distingue entre los esfuerzos perpendiculares a la sección de la viga (o espesor de la placa o lámina) y los tangentes a la sección de la viga (o superficie de la placa o lámina):

Esfuerzo normal (normal o perpendicular al plano considerado), es el que viene dado por la resultante de tensiones normales σ, es decir, perpendiculares, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo normal.

Esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado), es el que viene dado por la resultante de tensiones cortantes τ, es decir, tangenciales, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo cortante.

4.1.1 DIAGRAMA DE ESFUERZO CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR

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