Concepto de relación y función

Índice

Concepto de relación y función

Clasificación de las funciones

Funciones pares e impares

Función producto de composición

Calculo de dominio, rango y grafico de problemas específicos

Definición geométrica y analítica de concepto de limite de una función

Teoremas para el cálculo del límite de una función

Problemas específicos de cálculo de una función

Continuidad de una función en un punto o en un intervalo

Asíntotas horizontales y verticales

Concepto de relación y función

RELACIÓN:

El concepto de relación implica la idea de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas ordenadas.

Cuando se formula una expresión que liga dos o más objetos entre sí, postulamos una relación (no necesariamente matemática) por ejemplo:

Samuel es padre de Irma. (Samuel, Irma)

Del ejemplo anterior podríamos decir matemáticamente que

S → I

Podemos definir la relación como la correspondencia que hay entre TODOS o ALGUNOS del primer conjunto con UNO o MÁS del segundo conjunto.

RELACIÓN DE EQUIVALENCIA:

Una relación de equivalencia sobre K es una relación matemática ᷉ que cumple las siguientes propiedades:

° Es reflexiva: ∀a ∈ K, a ~ a

° Es simétrica: a ~ b ⇒ b ~ a

° Es transitiva: a ~ b, b ~ c ⇒ a ~ c

EJEMPLOS:

La igualdad es la relación de equivalencia básica.

Para toda función f tenemos x ~f y si y sólo si f(x) = f(y).

Toda relación de equivalencia proviene del caso anterior usando, por ejemplo, la función de pase al cociente [x] = [y].

Un ejemplo de relación de equivalencia es la relación de congruencia modulo M en el conjunto de los números enteros.

Entonces, sea a ~ b si y sólo si b - a es múltiplo de M. Esta relación es de equivalencia porque:

*Es reflexiva: a - a = 0, que es múltiplo de M.

*Es simétrica: si a - b es múltiplo de M, entonces b - a = -(a- b) también es múltiplo de M.

*Es transitiva: sean k y l números enteros tales que a - b =M k y b - c = M l. Entonces, a - c = (a - b) + (b - c) = M k +M l = M (k + l) y por tanto un múltiplo de M.

*En particular, si M = 2 tenemos la tradicional clasificación en pares e impares.

* Si M = 12 tenemos la, así llamada, aritmética del reloj.

Función

La definición moderna de función debida a Cauchy es la siguiente:

Se dice que ƴ es función de ӽ cuando a cada valor de la variable ӽ corresponden uno o varios valores determinados de la variable ƴ.

La notación para expresar que ƴ es función de ӽ es ƴ = f (ӽ).

Otra definición que podemos dar más específicamente con un ejemplo es la siguiente:

Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda, llamada imagen.

El precio de un viaje en taxi viene dado por:

Ƴ = 3 + 0.5 ӽ

Siendo ӽ el tiempo en minutos que dura el viaje.

Como podemos observar la función relaciona dos variables: ӽ & ƴ.

ӽ es la variable independiente

ƴ es la variable dependiente (depende de los minutos que dure el viaje).

Las funciones se representan sobre unos ejes cartesianos para estudiar mejor su comportamiento.

x 10 20 30

y= 3 + 0.5x 8 13 18

Clasificación de las funciones

Las funciones se clasifican en algebraicas y trascendentes.

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Las funciones algebraicas pueden ser: explícitas e implícitas.

Son explícitas cuando se pueden obtener las imágenes de ӽ por simple sustitución.

Ejemplo: f (ӽ) = 5ӽ - 2.

Y serán implícitas si no se pueden obtener las imágenes de ӽ por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones. 5ӽ - ƴ – 2 = 0. En este caso hay que despejar primero la variable ƴ.

LAS FUNCIONES ALGEBRAICAS SE CLASIFICAN EN POLINÓMICAS, RACIONALES Y RADICALES A TROZOS.

1.- Funciones polinómicas: Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.

f (ӽ) = a0 + a1 ӽ + a1 ӽ² +a1 ӽ³ + ••• + anӽn. Su dominio todos los números reales, es decir cualquier número real tiene imagen.

Funciones polinomiales especiales:

Funcionpolinómica de primer grado f (ӽ) = mӽ + n con m ≠ 0. Donde m es la pendiente y b la ordenada en el origen, el dominio son todos los números reales. Su grafica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función. Ejemplo:

Funciones constantes: el criterio viene dado por un número real f (ӽ) = K. Es una función cuyo rango consta de un solo número real.

La grafica es una recta horizontal paralela al eje de abscisas.

Función idéntica: es una función definida por f (ӽ) = ӽ, es decir el dominio de la función es igual al rango de la función. Su grafica es una línea recta que pasa por el origen

Funciones racionales: Es una función definida mediante el cociente de dos funciones polinomiales.

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de ӽ que anulan el denominador.

Las Funciones trascendentes: la variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

〖y=〗⁡〖e^x 〗+senx

〖y=〗⁡〖3^x 〗

〖y=〗⁡〖log2x+5〗

Funciones pares e impares

Se dice que una función es par si f(x) = f (-x), en el caso de que f(x) = -f(-x) se dice que la función es impar.

Ejemplos 1:

La función y(x)=x es impar ya que:

f(-x) = -x

Pero como f(x) = x entonces:

f(-x) = - f(x).

Ejemplo 2:

Otra función impar es y = 1/x

Cuando f(x) = -f(-x)

Ejemplo 3:

La función f(x)=x2 es par ya que f(-x) = (-x)2 =x2

Función producto de composición

La idea principal de la composición de funciones es la de la aplicación sucesiva, esto es aplicar una función a continuación de otra.

Sea f: z→ definida por f(x)=3x-1

G:z→z definida por g(x)=2x

Aplicar estas 2 funciones a un n° entero cualquiera por ejemplo x = 4 aplicando primero f y luego g, es decir g ( f(4) ) f (4) = 3 * 4 – 1 = 11

Entonces g(f(4))=g(11)=-2*11=242

La función g (f) es llamada una composición de las funciones f y g y se nota como g o f y se lee “ g aplicada a f “ o “ f seguida de g “

Es importante señalar que f o g ≠ g o f . Comprobémoslo en nuestro ejemplo.

La composición es una operación entre funciones que se establece de la siguiente manera:

Dadas dos funciones f & g, se define como la composición de la función f con la función g, a la función denotada f ° g (léase f composición g), cuya regla de correspondencia es

(f ° g ) (x) = f [g (x)]

Donde su dominio está representado por el conjunto

D f ° g = { x | x € D g ; g (x) € D f }

Para obtenerla regla de correspondencia de la función f ° g, según la definición anterior, basta con sustituir la función g en la variable independiente de la función f.

Así por ejemplo, sean las funciones f (x) = 4x² - 1 y g (x) = √ x entonces, la regla de la función f ° g se obtiene mediante la siguiente sustitución

(f ° g ) (x) = f [g (x)], por lo que

(f ° g ) (x) = f [ √x ], entonces

(f ° g ) (x) = 4 x - 1

Para entender mejor como se obtiene el dominio y el recorrido de la composición, recuramos a la notación funcional, pues la definición se expresa en estos términos

Notación funcional.- es una simbología que sirve para representar sucintamente una función, se expresa de la siguiente manera

Y= w (x)

Dónde:

W representa la regla de correspondencia de la función.

X indica el dominio de la función W , o bien, a la variable independiente.

W ( X ) representa al recorrido de la función W , indica los valores de la variable dependiente.

Entonces, en estos términos, el significado de

F [ g (x) ]

Es que el dominio de la función resultante, es un subconjunto, propio o impropio, del dominio de la función g, y que su recorrido es un subconjunto propio o impropio de la función f.

De lo anterior, es importante tener presente que la condición para que se pueda efectuar esta operación es el cumplimiento de

R g D ∩ f ≠ ∅

A partir de la condición anterior, indicar si es posible o no obtener la composición entre las funciones que se indican:

Si:

g (x)= -x²

f (x)=√x-1

h (x)=- 1/ 1+x²

f (x)= √1- (x-2)²

j (x)= 1/ x²

k (x)=

...