Fórmulas de Cálculo Diferencial e Integral

Fórmulas de

Cálculo Diferencial e Integral VER.6.8

(a + b) ⋅ (a2 − ab + b2 ) = a3 + b3

(a + b) ⋅ (a3 − a2b + ab2 − b3 ) = a4 − b4

(a + b) ⋅ (a4 − a3b + a2b2 − ab3 + b4 ) = a5 + b5

(a + b) ⋅ (a5 − a4b + a3b2 − a2b3 + ab4 − b5 ) = a6 − b6

(a + b) ⋅ ⎛ ∑n   (−1)k +1  an−k bk−1 ⎞ = an + bn   ∀ n ∈ Æ impar

⎜        ⎟

⎝ k =1        ⎠

(a + b) ⋅ ⎛ ∑n      −1)k +1  an−k bk−1 ⎞ = an − bn   ∀ n ∈ Æ par

⎜     (        ⎟

⎝ k =1        ⎠

SUMAS Y PRODUCTOS

n

a1  + a2  +⋯+ an  = ∑ak

k =1

n

∑c = nc

k =1

n        n

∑cak   = c∑ak

k =1        k =1

n        n        n

∑(ak + bk ) = ∑ak + ∑bk

k =1        k =1        k =1

n

∑(ak − ak−1 ) = an − a0

k =1

∑n    ⎡a + (k − 1) d ⎤ = n ⎡2a + (n − 1) d ⎤

⎣        ⎦    2 ⎣        ⎦

k =1

= n (a + l )

2

∑n                1 − rn     a − rl ark−1 = a                =

k =1        1 − r   1 − r

∑n    k = 1 (n2 + n)

k =1        2

∑n        1  2n3 + 3n2 + n)

k 2 =  (

k =1        6

∑n    k 3 = 1 (n4 + 2n3 + n2 )

k =1        4

∑n    k 4  =  1  (6n5 + 15n4 + 10n3 − n)

k =1        30

1 + 3 + 5 +⋯+ (2n − 1) = n2

n

n! = ∏ k

k =1

⎛ n ⎞        n!

⎜   ⎟ =        , k ≤ n

⎝ k ⎠  (n − k )!k !  

( x + y )n   = ∑n   ⎛ n ⎞   n−k yk

⎜ ⎟ x

k =0 ⎝ k ⎠   

( x  + x  +⋯+ x  )n   = ∑        n!        xn1   ⋅ xn2  ⋯ xnk

1   2        k        n !n !⋯n ! 1     2        k

1   2        k

CONSTANTES

π = 3.14159265359…

e = 2.71828182846…

         TRIGONOMETRÍA        

senθ = CO        cscθ =   1

HIP        senθ

cosθ = CA        secθ =   1

HIP        cosθ

tgθ = senθ = CO        ctgθ = 1 cosθ     CA                tgθ

π  radianes=180∘

HIP

CO

θ

CA

θ

sin

cos

tg

ctg

sec

csc

Gráfica 4. Las funciones trigonométricas inversas

arcctg x , arcsec x , arccsc x :

4

3

2

1

0          

-1        arc ctg x

           arc sec x arc csc x

-2

-5        0        5

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

2        2

sin θ + cos θ = 1

1 + ctg2 θ = csc2 θ

tg2 θ + 1 = sec2 θ

sin (−θ ) = −sinθ cos (−θ ) = cosθ tg (−θ ) = − tgθ

sin (θ + 2π ) = sinθ cos (θ + 2π ) = cosθ tg (θ + 2π ) = tgθ sin (θ + π ) = −sinθ cos (θ + π ) = −cosθ tg (θ + π ) = tgθ

sin (θ + nπ ) = (−1)n  sinθ cos (θ + nπ ) = (−1)n  cosθ tg (θ + nπ ) = tgθ

sin (nπ ) = 0

cos (nπ ) = (−1)n

tg (nπ ) = 0

sin ⎛ 2n + 1π ⎞ = (−1)n

⎜    2        ⎟

⎝        ⎠

cos ⎛ 2n + 1π ⎞ = 0

[pic 4]

⎜        ⎟

⎝    2        ⎠

tg⎛ 2n + 1π ⎞ =∞ 

[pic 5]

⎜        ⎟

⎝    2        ⎠

sinθ = cos⎛θ − π ⎞

⎜        2 ⎟

⎝        ⎠

cosθ = sin ⎛θ + π ⎞

⎜        ⎟

⎝        2 ⎠

sin (α ± β ) = sin α cos β ± cosα sin β

cos (α ± β ) = cosα cos β ∓ sinα sin β

tg (α ± β ) = tgα ± tg β

1 ∓ tgα tg β

sin 2θ = 2sinθ cosθ cos 2θ = cos2 θ − sin2 θ

tg 2θ = 2tgθ 

1 − tg2 θ

sin2 θ = 1 (1 − cos 2θ )

2

cos2 θ = 1 (1 + cos 2θ )

2

tg2 θ = 1 − cos 2θ

1 + cos 2θ

sin α + sin β = 2 sin 1 (α + β ) ⋅ cos 1 (α − β )

2        2

sin α − sin β = 2 sin 1 (α − β ) ⋅ cos 1 (α + β )

2        2

cosα + cos β = 2 cos 1 (α + β ) ⋅ cos 1 (α − β )

2        2

cosα − cos β = −2 sin 1 (α + β ) ⋅ sin 1 (α − β )

2        2

 sin (α ± β )

tgα ± tg β =

cosα ⋅ cos β

sin α ⋅ cos β  = 1 ⎡⎣sin (α − β ) + sin (α + β )⎤⎦

2

sin α ⋅ sin β  = 1 ⎡⎣cos (α − β ) − cos (α + β )⎤⎦

2

cosα ⋅ cos β  = 1 ⎣⎡cos (α − β ) + cos(α + β )⎤⎦

2

tgα ⋅ tg β = tgα + tg β

ctgα + ctg β

         FUNCIONES HIPERBÓLICAS        

ex − e− x

sinh x =

2

x     − x

cosh x = e + e

2

 sinh x     ex − e−x

tgh x =        =

cosh x    ex + e−x

1        ex + e−x

ctgh x =        =

tgh x    ex − e−x

sech x =     1     =      2

cosh x    ex  + e−x

csch x =    1    =      2

sinh x    ex − e−x

sinh : ℝ → ℝ cosh : ℝ → [1, ∞ tgh : ℝ → −1,1

ctgh : ℝ − {0} → −∞ , −1 ∪ 1, ∞ sech : ℝ → 0 ,1]

csch : ℝ − {0} → ℝ − {0} 

Gráfica 5. Las funciones hiperbólicas sinh x ,

cosh x , tgh x :

5

4

3

2

1

0          

-1

-2

            senh x

-3        cosh x

            tgh x

-4

-5        0        5

         FUNCIONES HIPERBÓLICAS INV        

sinh−1 x = ln (x +    x2 + 1),   ∀x ∈ ℝ

cosh−1 x = ln (x ±    x2 − 1),   x ≥ 1

tgh−1 x = 1 ln ⎛ 1 + x ⎞ , x < 1 2 ⎜ 1 − x ⎟

⎝        ⎠

ctgh−1 x = 1 ln ⎛ x + 1 ⎞ , x > 1 2 ⎜ x − 1 ⎟

⎝        ⎠

⎛ 1 ± 1 − x2 ⎞

sech−1 x = ln ⎜        ⎟ , 0 < x ≤ 1

⎜        x        ⎟

⎝        ⎠

⎛ 1        x2 + 1 ⎞

csch−1 x = ln ⎜  +        ⎟, x ≠ 0

⎜ x        x     ⎟

⎝        ⎠

0∘

0

1

0

∞

1

∞

30∘

1 2

3 2

1 3

3

2   3

2

45∘

1   2

1   2

1

1

2

2

60∘

3 2

1 2

3

1 3

2

2    3

Jesús Rubí Miranda (jesusrubim@yahoo.com)

http://www.geocities.com/calculusjrm/

90∘

1

0

∞

0

∞

1

y =∠sin x    y ∈ ⎡− π   π ⎤

⎢⎣      , ⎥⎦

2 2

y =∠ cos x y ∈[0,π ]

y =∠ tg x     y ∈ − π π 

,

2 2  

y =∠ ctg x =∠ tg 1    y ∈ 0,π

x

y =∠ sec x =∠cos 1  y ∈[0,π ]

x

y =∠ csc x =∠sen 1    y ∈ ⎡− π , π ⎤

x        ⎢⎣   2   2 ⎥⎦

Gráfica 1. Las funciones trigonométricas: sin x ,

cos x , tg x :

2

1.5

1

0.5

0          

-0.5

-1

-1.5        sen x

          cos x

tg x

-2

-8            -6            -4            -2             0             2             4             6              8

Gráfica 2. Las funciones trigonométricas csc x ,

sec x , ctg x :

2.5

2

1.5

1

0.5         0

-0.5

-1

-1.5

           csc x

-2        sec x

ctg x

-2.5

-8            -6            -4            -2             0             2             4             6              8

Gráfica 3. Las funciones trigonométricas inversas

arcsin x , arccos x , arctg x :

4

3

2

1

0          

-1        arc sen x

          arc cos x arc tg x

-2

-3        -2        -1        0        1        2        3

         VALOR ABSOLUTO        

a = ⎧a si a ≥ 0

⎨−a si a < 0

⎩

a = −a

a ≤ a y − a ≤ a

a ≥ 0 y a = 0 ⇔ a = 0

n        n

ab  =  a  b  ó  ∏ak    = ∏ ak

k =1        k =1

n        n

a + b  ≤  a + b  ó  ∑ak    ≤ ∑ ak

k =1        k =1

         EXPONENTES        

a p ⋅ aq = ap +q

a p =   p−q  

aq        a

(a p )q  = a pq

(a ⋅ b)p  = a p ⋅ bp

⎛ a ⎞ p        a p

⎜   ⎟ =   p

⎝ b ⎠      b

ap / q = q a p

LOGARITMOS

log N = x ⇒ ax = N

a

loga MN = loga M + loga N

log M = log M − log N

a   N        a        a

loga N = r loga N

r

log N = logb N = ln N

a        log a     ln a

b

log10 N = log N y loge N = ln N

         ALGUNOS PRODUCTOS        

a ⋅ (c + d ) = ac + ad

(a + b) ⋅ (a − b) = a2 − b2

(a + b) ⋅ (a + b) = (a + b)2  = a2 + 2ab + b2

(a − b) ⋅ (a − b) = (a − b)2  = a2 − 2ab + b2

( x + b) ⋅ ( x + d ) = x2 + (b + d ) x + bd

(ax + b) ⋅ (cx + d ) = acx2 + (ad + bc) x + bd

(a + b) ⋅ (c + d ) = ac + ad + bc + bd

(a + b)3  = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a − b)3  = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

(a + b + c)2  = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

(a − b) ⋅ (a2 + ab + b2 ) = a3 − b3

(a − b) ⋅ (a3 + a2b + ab2 + b3 ) = a4 − b4

(a − b) ⋅ (a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4 ) = a5 − b5

(a − b) ⋅ ⎛ ∑n    an−k bk−1 ⎞ = an − bn   ∀n ∈ Æ

⎜        ⎟

⎝ k =1        ⎠