Geometría analítica en el plano

I) GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO

EJERCICIOS DE REPASO:

1. Determinar y graficar el conjunto de puntos del plano que equidistan de los puntos A(0, 2) y B(2, 4).

2. Determinar y graficar el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a C(0, 2) es 2

3. Analizar las simetrías respecto de los ejes coordenados y del origen de coordenadas de los lugares geométricos definidos por a) x.y=4; b) x2+2x+3y2=0

4. Demostrar las ecuaciones de transformación de la traslación y de la rotación de un sistema de coordenadas cartesiano.

5. Mostrar que la distancia entre dos puntos es invariante frente a traslación y rotación del sistema de coordenadas.

6. El sistema OXY se ha trasladado al punto O´(1,-2). En un gráfico que muestre ambos sistemas (OXY y O´X´Y´), dibujar los lugares geométricos definidos por las siguientes ecuaciones:

a) x+3y-4=0; b) y=x2-2; c) x'2+y'2=4

Dar en cada caso las ecuaciones respecto del otro sistema.

7. El sistema OXY se ha rotado 60º. En un gráfico que muestre ambos sistemas (OXY y OX´Y´), dibujar los lugares geométricos definidos por las siguientes ecuaciones:

a) x+3y-4=0; b) y=x2-2; c) x'2+y'2=4

Dar en cada caso las ecuaciones respecto del otro sistema.

SECCIONES CÓNICAS

(1)Determinar y graficar el lugar geométrico de los puntos que equidistan de F(0, 2) y de la recta

(2)Determinar y graficar el lugar geométrico de los puntos que equidistan de F(0, 2) y de la recta

(3)Encontrar las coordenadas del vértice y del foco, la ecuación de la directriz y trazar la gráfica de las siguientes parábolas:

(4)Completar el siguiente cuadro sobre las características de la PARÁBOLA:

Ecuación Vértice Eje Foco Directriz La gráfica se extiende hacia

x2=4cy (O, O) arriba si c >0; ............. si c<0

y = 0 (c,0) x = -c ............. si c >0; izquierda si c<0

x = x0 (x0, y0+c) y = y0-c ........... si c >0; abajo si c <0

(y-y0)2 = 4c(x-x0) (x0, y0) derecha si c >0; ............ si c <0

(5)Hallar una ecuación de la parábola que satisfaga las siguientes condiciones:

a) Vértice en (0, 0), eje x=0, pasa por (-1, 4)

b) Vértice en (0, 0), foco (-2, 0)

c) Eje y=0, pasa por (2, 1) y vértice en (0, 0)

d) Foco en (3, -1); directriz x= ½

e) Eje paralelo al eje X, vértice en (1, 3) y que pasa por (-1, -1)

(6)Analizar las simetrías respecto de los ejes coordenados y del origen de coordenadas de una parábola horizontal con vértice en el origen.

(7)Determinar y graficar el lugar geométrico de los puntos cuya suma de sus distancias a F(0, 2) y F´(0,-2) es igual a 10.

(8)Determinar y graficar el lugar geométrico de los puntos cuya suma de sus distancias a F(2, 2) y F´(-2,-2) es igual a 10.

(9)Obtener las coordenadas del centro, de los vértices y de los focos de la elipse cuya ecuación se da a continuación. Calcular además su excentricidad y trazar su gráfica.

; ;

(10)Encontrar la ecuación de la elipse que satisfaga las condiciones:

a) Centro en (0,0), vértices en (5,0) y (0,-2)

b) Vértices en (4,0) y (-4,0) y (0, ±2)

c) Vértices en (0, ±4), focos en (0, ±2)

d) Vértices en (-1, 2), (-7, 2) y eje menor de longitud igual a 2.

e) Vértices en (3, -2), (13, -2) y focos en (4, -2), (12, -2)

f) Centro en (2, 1), eje mayor paralelo al eje X y que pasa por los puntos (6, 1) y (2, 3)

(11)Para qué valores reales de k la ecuación es una circunferencia, puntos o ningún lugar geométrico.

(12)Para qué valores reales de k la ecuación es una elipse, puntos o ningún lugar geométrico.

(13)Hallar la ecuación y graficar el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a los puntos F(0, 3) y F´(0,-3) es igual a 4.

(14)Obtener las coordenadas de los vértices y de los focos, dar las ecuaciones de las asíntotas, calcular su excentricidad y graficar las hipérbolas cuyas ecuaciones respectivas son:

a) b)

c) d)

e) f)

(15)Hallar las ecuaciones de las hipérbolas que verifican las siguientes condiciones:

a)

...