Calculo Integral Vectorial

CALCULO INTEGRAL VECTORIAL

Sea una superficie esférica de radio 1 interior y tangente a otra superficie esférica de radio 2. Determinar el valor promedio de la distancia al punto de tangencia de todos los puntos comprendidos entre ambas superficies esféricas. SUGERENCIA: USAR COORDENADAS ESFÉRICAS.

SOLUCIÓN

Los puntos aludidos en el enunciado son los de la región rayada en gris de la figura. Puesto que la función que promediaremos será la distancia al punto de tangencia, aparece como lógico que este último se sitúe en el origen del sistema de coordenadas que utilizaremos.

Al usar coordenadas esféricas, esta distancia será sencillamente .

Recordemos por otra parte el concepto de valor promedio de una función en un dominio. Podemos expresarlo como el cociente entre la integral de esa función sobre el dominio dado y la integral de la función 1 en dicho dominio.

En nuestro caso se trata de cuerpos tridimensionales y por lo tanto las integrales serán volumétricas. Esto es:

(1)

Nuestro problema se reducirá a expresar estas integrales en coordenadas esféricas, lo cual en términos prácticos implica encontrar los límites de cada una de las variables.

 , el ángulo azimutal, variará entre 0 y /2 (nuestro dominio abarca todo el semiespacio situado por encima del plano xy).

 , el ángulo ecuatorial, variará entre 0 y 2 (ambas esferas son cuerpos de revolución completa alrededor del eje z).

 Los únicos extremos que ofrecen alguna dificultad son los de , la distancia al origen. Para determinar correctamente su variación, observemos que esta última es dependiente del ángulo azimutal. En efecto, vemos en la figura que para cada valor de  los valores de  estarán comprendidos en el rango indicado por la línea más gruesa. El valor mínimo será la longitud del segmento OA’, y el valor máximo será la longitud del segmento OB’. Ambas longitudes, repetimos, son funciones de . Pero, ¿qué funciones?

Para determinar esto observemos, de los radios dados en los datos, que el segmento OA tiene longitud 2, y el segmento OB tiene longitud 4.

Por otro lado recordemos de geometría elemental que un ángulo inscripto en una esfera (esto es, el formado uniendo un punto cualquiera de la misma con los extremos de cualquier diámetro que no lo incluya) es siempre recto. Por lo tanto, los ángulos OA’A y OB’B son ambos rectos.

Entonces, los triángulos OA’A y OB’B son los dos rectángulos y podemos aplicar funciones trigonométricas. Tenemos así:

OA’ = OAcos = 2cos

OB’ = OBcos = 4cos

Por ende la variación de  vendrá dada por:

2cos    4cos

Expresando ahora las integrales triples en (1) con sus correspondientes extremos tendremos lo siguiente, donde  es la función a promediar y 2sen es el jacobiano en esféricas:

Esto da una distancia promedio de, aproximadamente, 2,57. En la primera figura de este ejercicio se ha indicado en línea de puntos el lugar geométrico de los puntos ubicados a esta distancia del origen.

3.10

Hallar el momento de inercia respecto al eje x de un alambre semicircular que tiene la forma x2 + y2 = 1, y  0 si la densidad es f(x; y) =  x +  y.

SOLUCIÓN

Se trata de una semicircunferencia centrada en el origen y que abarca el primero y el segundo cuadrantes.

La parametrización natural para esta curva es:

, 0     (1)

La función, por otro lado, tendrá dos leyes: una en el primer cuadrante, donde ambos valores son positivos, y otra en el segundo cuadrante, donde x es negativo y y es positivo. Esto es:

(2)

Reemplazando (1) en (2) se puede obtener una expresión para la función densidad expresada en términos del parámetro :

(3)

Ahora debemos calcular el momento de inercia del alambre descrito por la parametrización (1) y con una densidad representada por (3), con respecto al eje x. Recordemos que el momento de inercia es la integral del diferencial de masa por el cuadrado de la distancia al eje de rotación. En nuestro caso, la distancia al eje x es y para cualquier punto del plano y podemos expresar Ix como:

Es fácil comprobar que la raíz cuadrada en esta última integral da, para la parametrización de nuestro problema, 1. Por lo tanto:

donde hemos separado el dominio en dos intervalos, puesto que la ley de la función cambia de uno a otro.

Ejecutando la integral se obtiene:

Ix = 8/3

PROBLEMA DE “CÁLCULO VECTORIAL”, DE MARSDEN-TROMBA

La superficie de una montaña responde a la ecuación:

Sobre una de sus laderas se construye un restaurante cilíndrico, de radio R, según muestra la figura. La temperatura viene dada por

Definamos la función densidad de flujo de calor V como , donde k es una constante que depende de los materiales. Determinar el flujo de V a través de la superficie de contacto entre el restaurante y la montaña. (La respuesta dependerá de R y de k).

SOLUCIÓN

Se nos pide calcular:

(1)

donde S es la parte de la superficie paraboloidal contorneada por el cilindro. Queda claro, pues, que lo que hay que parametrizar es el paraboloide, no el cilindro.

Para esto, veamos cómo se

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