Integrales

1.Integral

     En el mundo de las ciencias formales que basan sus teorías y fundamentos en hechos lógicos y matemáticos, las funciones comprenden un elemento de suma importancia para la compresión y descripción de fenómenos teóricos que integran la interacción de dos o más componentes. Para el análisis de estas funciones existen muchas técnicas y herramientas matemáticas, como las derivadas y las integrales que pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería. Una integral es posible definirla como la generalización de una serie de adiciones infinitas en busca de una función primitiva, en donde se pretende conseguir el cálculo de una función F(x) cuya derivada de como resultado la función a integrar original.

1. Integral indefinida

     Una integración indefinida es aquella que no tiene límites, correspondiendo a la suma del conjunto de funciones primitivas y la constante de integración C.

1. Integral definida

     Las integrales definidas tienen la particularidad de que comprenden un espacio fijo, que permite determinar el valor de áreas limitadas por curvas y rectas delineadas por un intervalo determinado

2.Metodos de integración

     Las operaciones de integración de funciones pueden llegar a ser muy complicadas, por ello cuando la integral de una función no puede realizarse de manera inmediata y no es posible determinarla a simple vista se evalúa la integral con el objetivo de desarrollar diversas metodologías y herramientas a través de procedimientos generales de simplificación.

2.1 Método de sustitución algebraica

     El fundamento de este procedimiento consiste principalmente en reemplazar una integral relativamente complicada por una más sencilla. Esto se lleva a cabo transformando de la variable original x a una nueva variable “u” que es función de x. El reto principal en la aplicación esta herramienta y regla de sustitución es pensar en una sustitución apropiada. Intentando elegir “u” como alguna función en el integrando cuya diferencial también esté presente. Si no es posible esto entonces “u” será seleccionada como alguna parte complicada del integrando. La verdadera dificultad de este método radica en encontrar la sustitución adecuada para cada una de las situaciones

2.1.1 Sustitución algebraica en integrales definidas

     Cuando se evalúa una integral definida por sustitución, se pueden aplicar dos métodos. Uno es evaluar primero la integral indefinida y, enseguida la segunda parte del teorema fundamental. Otra, que suele ser más preferible, es cambiar los límites de integración cuando se cambia la variable. Hacer un cambio de variable para integrales definidas es muy similar a hacerlo con integrales indefinidas, pero con un paso adicional que es tomar en cuenta los límites de integración.

[pic 1]

     Determinamos mediante la observación y análisis de la integral que 2x es la derivada de . Por lo cual es aplicable el realizar una sustitución de términos siendo “u” igual a . Entonces derivada de “u” du=2xdx. Sustituimos:[pic 2][pic 3]

[pic 4]

     Observamos que los límites de integración están dados para x, no para “u”. Para encontrar los nuevos límites, debemos encontrar cuáles valores de “u” corresponden a ; Para x=1 y x=2 dado que[pic 5]

     Límite inferior [pic 6]

     Límite superior [pic 7]

     Ahora definidos los límites para “u” si es posible realizar la sustitución:

[pic 8]

     A partir de este momento se puede operar en base a u, para terminar, sustituyendo en base a los intervalos de integración.

[pic 9]

     Se sustituye

[pic 10]

 = 152.25[pic 11]

2.2 Método de sustitución por parte

Conclusión

En el desarrollo de las diferentes ramas de la matemática el cálculo se encarga de estudiar la continuidad y las variaciones de movimiento de una función determinada por las variables de una ecuación. Desarrollar el cálculo integral comprende evaluar una serie de funciones previamente derivadas con la finalidad de conocer el área abarcada por una curva. El cálculo integral puede comprender de resoluciones algo complejas o estructuradas requiriendo la implementación de conocimiento previamente adquirido mediante derivación o análisis crítico de funciones matemáticas.

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