“Investigación de aplicación de vectores en Y ”

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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA

UNIDAD ACADÉMICA DE INGENIERÍA CIVIL

CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL

Investigación # 2

TEMA:

“Investigación de aplicación de vectores en  Y ”[pic 2][pic 3]

Curso:

2° “A”

Autor:

Durán Bustamante Jaime Alexander

Docente: Ing. Civ. Tacuri Rivas Marco Antonio, M.I

Machala- Ecuador

2018

Objetivo General: Detallar conceptos fundamentales de los vectores en  Y , plantear ejercicios y explicar su aplicación en la ingeniería civil, a partir del análisis documental de distintas fuentes, discerniendo datos bibliográficos obtenidos en libros, sitios web y manuscritos, además de un ejercicio de aplicación dentro del campo profesional de ingeniería civil con su respectiva resolución, para demostrar su utilidad e importancia dentro de esta disciplina profesional.[pic 4][pic 5]

Objetivos específicos:

• Consultar información acerca de los vectores en  Y , tanto como su definición, y ejercicios con su respectiva resolución.[pic 6][pic 7]
• Investigar acerca de la aplicación de los vectores en  Y dentro del campo de la ingeniería civil.[pic 8][pic 9]
•  Demostrar su aplicación e importancia de los vectores en  Y mediante un ejercicio de aplicación.[pic 10][pic 11]

1. Marco teórico

Vectores

Un segmento de recta queda determinado por sus dos puntos extremos. Cuando esos puntos están dados en un cierto orden, se dice que el segmento está orientado. Se llama vector a todo segmento orientado. El primer punto es el origen y el segundo, el extremo del vector. (Crossman, 2001) (Beer & Johnston, 2008)

La recta que contiene al vector determina su dirección; la orientación sobre la recta, definida desde el origen hasta el extremo, determina su sentido. Todos los vectores situados sobre una misma recta o sobre rectas paralelas tienen la misma dirección. Sobre cada recta hay dos sentidos opuestos. (Crossman, 2001)

Se llama módulo de un vector a la longitud del segmento que lo representa, que es proporcional a la intensidad de la magnitud representada. El módulo es una cantidad escalar siempre positiva. (Beer & Johnston, 2008)

Componentes de un vector

(Beer & Johnston, 2008) nos indica que los puntos P1 y P2 en R representan el origen y el extremo de un vector A se llaman componentes de A las proyecciones de A sobre los ejes:

ax= x2-x1          ay=y2-y1

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El módulo de A sería igual a:

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En R3, las componentes de un vector A, es decir las proyecciones de A sobre los ejes son:

ax= x2-x1        ay= y2-y1        az=z2-z1

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Por lo tanto, el módulo de A es igual a:

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Operaciones con vectores

Adición y sustracción

Para sumar dos vectores A y B, ya sea en el plano como en el espacio tridimensional, se representa B a continuación de A, es decir, el origen de B se hace coincidir con el extremo de A. El vector A+B tiene su origen en el origen de A y su extremo en el extremo de B. Se llega al mismo resultado representando ambos vectores con el mismo origen O, trazando el paralelogramo sobre A y B y definiendo la suma como la diagonal que pasa por O. (Denis, 2013) (Denis, 2013)

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La diferencia A-B es igual a la suma del vector A con el vector -B, que es el opuesto de B y sus componentes son:  Gráficamente, dados A y B, la diferencia A-B se obtiene siguiendo el procedimiento que se indica en la figura (Vadenumeros, 2018):

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Dado un vector A=(ax  , ay , az  ) y un escalar (número real) λ, el vector λA tiene el módulo igual al producto de λ por el módulo de A y la misma dirección que A. El sentido de λA es el mismo que el de A si λ es positivo y sentido opuesto si λ es negativo. Las componentes de λA son (Aguilar, 2015):

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Producto escalar

Se llama producto escalar o interno de dos vectores A y B al escalar que se obtiene como producto de los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que ellos forman. En símbolos (Crossman, 2001):

A ⋅ B = A B cos θ

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Producto Vectorial

El módulo del producto vectorial de dos vectores es igual al área del paralelogramo trazado ‘sobre ellos. (Aguilar, 2015)

Para encontrarlo se aplica:

(A ∧ B) ⋅ C = (a ybz − azby )cx + (azbx − axbz ) cy + (axby − a ybx )cz

A ⋅ B = A B sen θ[pic 20]

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