La dificultad de comprensión del concepto de infinito matemático

CAPÍTULO I

El problema

Planteamiento del problema

Uno de los conceptos más difíciles de comprender para los estudiantes de educación matemática es el concepto de infinito matemático, en tal sentido Lestón y Veiga (2002) afirman que uno de los problemas que los profesores deben enfrentar en la introducción al análisis y en particular al concepto de límite es la dificultad que tienen los alumnos en la comprensión y el manejo del infinito.

Tal dificultad es de esperarse, ya que, según Kleiner (2001), el concepto de infinito no ha sido un concepto de fácil comprensión para los matemáticos en el desarrollo de la historia. Al respecto Lestón y Veiga expresan que para comprender por qué determinados conceptos presentan obstáculos en su adquisición es necesario remontarse a su origen histórico. Múltiples enfoques y diversas discusiones se han presentado en la comunidad matemática acerca de la noción del infinito (D’Amore, 1996).

El concepto de infinito matemático se encuentra dentro de diferentes contextos, por un lado se puede hablar del infinito grande y el infinito pequeño y por el otro del infinito cardinal y el infinito ordinal como infinito formal y natural (Tall, 2001).

Un apartado particular de la noción de infinito corresponde al estudio de los infinitesimales como un infinito formal, los cuales son determinantes en el desarrollo del cálculo infinitesimal, sobre todo cuando se estudia formalmente el concepto de límite y conceptos asociados a este, tales como continuidad, diferenciabilidad, integración y convergencia (Tall, 2001).

Uno de los problemas de la comprensión del infinito matemático cardinal es que rompe la idea intuitiva que se tiene que el todo es más grande que una de sus partes, no obstante se puede construir una función biyectiva entre el conjunto de los números reales y el intervalo [0,1]. Resultando de esta manera que IR y [0,1]  IR tienen la misma cantidad de elementos, es decir tienen la misma cardinalidad y obviamente [0,1] es una parte de IR.

Otra dificultad que se presenta en el estudio del infinito, como el infinito llamado pequeño, es que en la práctica y en el desarrollo histórico, el único infinitesimal que se ha usado, es el cero. Por ejemplo si se consideran los números 1 y , los cuales son distintos aunque muy cercanos, al calcular la diferencia entre ellos, resulta el número cero, lo cual parece ser contradictorio con el hecho que 1 y son diferentes. Si se revisa con cuidado se puede descubrir que esta diferencia en realidad es un número infinitamente pequeño o cercano al cero, en otras palabras es el valor de un infinitesimal, éste ejemplo es presentado en detalle por Tall (2001).

Sin embargo siendo utilizado actualmente el concepto de infinitesimal cuando se estudian formalmente ciertos conceptos que involucran los  y , por ejemplo en la definición de límite, se tienen presentes las dificultades reseñadas en el párrafo anterior, siendo abordadas muchas de ellas desde el punto de vista cognitivo por diversos autores. (Cornú, 1981, 1991; Sierpinska, 1985, 1987; Tall, 1981, 2001) Por tal razón cabe preguntarse: ¿Cuáles son los esquemas conceptuales informales que tiene un estudiante de educación matemática asociado al concepto de infinitesimal?, ¿Qué procesos ocurren en la mente del estudiante para adquirir con formalidad el concepto de infinitesimal?, ¿Cómo construye el estudiante el concepto de infinitesimal?

Justificación

Teniendo en cuenta las preguntas de investigación y considerando que el estudio de los infinitesimales es determinante para la apropiación de otros conceptos matemáticos que lo involucran, se hace necesario la realización de una investigación sobre los esquemas conceptuales que tienen los estudiantes de educación matemática de la UPEL-IPB asociados al concepto de los infinitesimales. Tal como lo afirma Kleiner (2001) cuando indica que el infinito pequeño y el infinito grande es fundamental en el cálculo

De igual forma Martinez (2002) sostiene que las cantidades infinitamente pequeñas constituyen la pieza fundamental para la creación del cálculo. Esto significa que al entender con formalidad el concepto de infinitesimal se ampliará la comprensión de otros conceptos asociados. En virtud de lo cual esta investigación puede ser relevante para el desarrollo de una mejor didáctica no solamente en la enseñanza de este concepto matemático, sino en todos los otros conceptos asociados a éste.

Desde el punto de vista científico los resultados de esta investigación pueden contribuir a la didáctica del análisis, aportando con ello avances en la educación matemática de la región y por ende del país.

Objetivos de la investigación

Objetivos generales:

1. Describir los esquemas conceptuales de los estudiantes de educación matemática asociados al concepto de infinitesimal.

2. Interpretar como construyen los estudiantes de educación matemática el concepto de infinitesimal.

Objetivos específicos:

1. Aproximarse a los esquemas conceptuales informales de los estudiantes de educación matemática asociados al concepto de infinitesimal.

2. Aproximarse a los esquemas conceptuales formales de los estudiantes de educación matemática asociados al concepto de infinitesimal.

3. Proponer elementos didácticos que permitan a los estudiantes de educación matemática adquirir el concepto de los infinitesimales.

4. Describir cómo construyen los estudiante de educación matemática el concepto de infinitesimal.

CAPÍTULO II

Marco teórico

En este capítulo se presentan los elementos teóricos donde se ubica la investigación. Este se desarrollará en tres secciones, en la primera se estudian los constructos teóricos sobre la teoría cognitiva del pensamiento matemático avanzado, haciendo énfasis en los esquemas conceptuales y los procesos cognitivos que activa el estudiante para apropiarse de los conceptos matemáticos. En la segunda se presenta un estudio sobre los infinitesimales como objetos matemáticos y en la tercera sección se mostrarán algunas investigaciones sobre el concepto de infinito, se abordan desde la perspectiva didáctica, histórica y matemática. Estas investigaciones conforman lo que denominamos antecedentes de la investigación.

Pensamiento Matemático Avanzado

Tall (1991), describe la teoría cognitiva del PMA como una teoría psicológica que describe la naturaleza del conocimiento matemático y de los procesos cognitivos que usa el estudiante para el aprendizaje de dichos conocimientos y que debe ser vista dentro de un amplio contexto de la actividad humana mental y cultural, pues no hay una sola forma de pensamiento absoluto y verdadero en las personas, existen diversas formas de razonamiento culturalmente desarrolladas en los cuales varios aspectos son relativos al contexto.

Por otro lado Garbin (2005) expresa que Tall y Dreyfus han elaborado una teoría cognitiva con relación al desarrollo y crecimiento del pensamiento matemático avanzado basada en aportaciones de la psicología cognitiva (fundamentalmente de Piaget y Bruner) que muestra cuales son las condiciones para ir de un Pensamiento Matemático Elemental (PME) y un PMA.

Con respecto a los procesos que usan los estudiantes, Dreyfus (1991) afirma que el entendimiento es un proceso que ocurre en la mente del estudiante; puede ser rápido, "un Ahá!-Erlebnis", un chasquido de la mente; pero a menudo, está basado sobre una secuencia larga de actividades de aprendizaje durante la cual una gran variedad de procesos mentales ocurren e interactúan. Según este autor, los investigadores en educación matemática han tomado conciencia de la importancia de los procesos cognitivos para entender las matemáticas avanzadas y sus interacciones.

Una vez delimitada la teoría cognitiva PMA, se desarrollará algunos elementos que se consideran claves, ya que el objeto de estudio se ubica en los procesos de pensamiento de la matemática avanzada y no elemental.

Procesos de pensamiento

Muchos son los procesos que ocurren en la mente de un estudiante en el apropiamiento de un concepto matemático. Dreyfus (1991) presenta dos grandes clasificaciones de estos procesos, presenta la representación y la abstracción como procesos generales. En la representación incluye la representación, la traducción, la conmutación entre representación y traducción, así como la modelización. En la abstracción incluye la generalización, la síntesis y la abstracción, siendo estos últimos los procesos que activa el estudiante cuando está en contacto con la teoría formal de los infinitesimales en los cursos de análisis (Garbin, 2005).

Por su parte Dubinsky (1996) ha desarrollado junto a otros investigadores la teoría cognitiva Acción, proceso, objeto esquema (APOE) basada en el concepto piagetieno de abstracción reflexiva, mostrando los procesos cognitivos del PMA: interiorización, coordinación, encapsulación, generalización y reversión.

Abstracción

Respecto a la abstracción, Dreyfus (1991) afirma que es ante todo un proceso

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