El concepto de infinito

El símbolo de infinito ∞ (Unicode U+221E), también llamado lemniscata, en diferentes fuentes.

Para el canal de televisión por cable, véase Infinito (canal de televisión).

Para el grupo español del mismo nombre, véase Infinito (banda).

El concepto de infinito aparece en varias ramas de la matemática, la filosofía1 y la astronomía,2 en referencia a una cantidad sin límite o final, contrapuesto al concepto de finitud.3

En matématicas el infinito aparece de diversas formas: en geometría, el punto al infinito en geometría proyectiva y el punto de fuga en geometría descriptiva; en análisis matemático, los límites infinitos; y en teoría de conjuntos como números transfinitos. Todos estos conceptos son diferentes y no corresponden todos ellos a la misma noción de infinitud.

Índice [ocultar]

1 Teoría de conjuntos

1.1 Primera definición positiva de conjunto infinito

1.2 Números ordinales infinitos

1.3 Primer ordinal infinito

1.4 Números cardinales infinitos

2 Análisis matemático

2.1 Análisis estándar u ordinario

2.2 Análisis no-estándar

3 Infinito en informática

4 Infinito en metafísica

5 Historia

5.1 El símbolo de infinito

6 Véase también

7 Referencias

8 Más información

Teoría de conjuntos[editar · editar fuente]

Los conjuntos finitos tienen una propiedad "intuitiva" que los caracteriza: "dada una parte propia de los mismos, ésta contiene un número de elementos menor que todo el conjunto". Es decir, no puede establecerse una biyección entre una parte propia del conjunto finito y todo el conjunto. Sin embargo, esa propiedad "intuitiva" de los conjuntos finitos no la tienen los conjuntos infinitos, y formalmente se dice que:

Un conjunto es infinito si existe un subconjunto propio de , es decir, un subconjunto tal que , tal que existe una biyección entre y .

La idea de cardinalidad de un conjunto se basa en la noción anterior de biyección. De dos conjuntos entre los que se puede establecer una biyección se dice que tienen la misma cardinalidad. Para un conjunto finito su cardinalidad puede representarse por un número natural. Por ejemplo, el conjunto {manzana, pera, durazno} tiene 3 elementos. Esto significa de modo más formal que se puede establecer una biyección entre tal conjunto y el número 3 que es el conjunto {0,1,2}:

Dicho de otra forma, es posible hacer parejas (0, manzana), (1, pera), (2, durazno) de modo que cada elemento de los dos conjuntos se utilice exactamente una vez. Cuando es posible establecer tal relación "uno a uno" entre dos conjuntos se dice que ambos conjuntos tienen la misma cardinalidad, lo cual, para conjuntos finitos, equivale a que tengan el mismo número de elementos.

Primera definición positiva de conjunto infinito[editar · editar fuente]

La primera definición positiva de conjunto infinito fue dada por Georg Cantor y se basa en la siguiente observación: Si un conjunto S es finito y T es un subconjunto propio, no es posible construir una biyección entre S y T. Por ejemplo, si S = {1,2,3,4,5,6,7,8} y T = {2,4,6,8} no es posible construir una biyección entre S y T, porque de ser así tendrían la misma cardinalidad (el mismo número de elementos).

Un conjunto es infinito si es posible encontrar un subconjunto propio del mismo que tenga la misma cardinalidad que el conjunto original. Consideremos el conjunto de los números naturales N={1,2,3,4,5,...}, el cual es un conjunto infinito. Para verificar tal afirmación es necesario encontrar un subconjunto propio y construir una biyección entre ambos. Para este caso, consideremos el conjunto de enteros positivos pares P={2,4,6,8,10,...}. El conjunto P es un subconjunto propio de N, y la regla de asignación es una biyección:

ya que a todo elemento de N le corresponde un único elemento de P y viceversa.

Números ordinales infinitos[editar · editar fuente]

Artículo principal: Número ordinal (teoría de conjuntos).

Los números ordinales sirven para notar una posición en un conjunto ordenado (primer, segundo, tercer elemento ...). El ejemplo más elemental es el de los números naturales, que se definen rigurosamente así: Se nota el conjunto vacío:

se nota el conjunto que sólo contiene :

luego se nota el conjunto que sólo contiene y :

Y así sucesivamente:

Por construcción, 0 está incluido en 1, quién a su vez está incluido en 2, ya que obviamente:

La inclusión permite convertir a los ordinales en un conjunto bien ordenado (dos elementos distintos siempre se pueden comparar, y añadiendo la igualdad daría un orden total) entre estos conjuntos que se prefiere, por costumbre, escribir "<", lo que da las relaciones 0 < 1 < 2 < 3. Decir que un ordinal es menor (estrictamente) que otro significa, cuando se les considera a ambos como conjuntos, que está incluido en el otro.

Si a y b son ordinales, entonces aUb, la unión de los conjuntos, también es un ordinal. En particular, si son ordinales finitos (conjuntos finitos) correspondientes a los naturales a y b, entonces aUb corresponde al mayor de los dos, a o b. En general, si los conjuntos ai son ordinales, donde i toma todos los valores de un conjunto I, entonces a = Uai también lo será. Y si el conjunto I no es finito, tampoco lo será a. Así obtendremos ordinales (o sea números) infinitos.

Acabamos de caer en una "trampa", al hablar de conjunto finito sin definir el concepto. Para definirlo rigurosamente, debemos compararlo con los ordinales. Dos conjuntos bien ordenados A y B son isomorfos (con relación al orden) si existe una biyección f entre ambos que respeta el orden: si a < a' en A, entonces f(a) < f(a) en B. Resulta obvio constatar que si A es un conjunto ordenado con n elementos (n entero natural) entonces A es isomorfo an = {0, 1, 2, ..., n-1}. Basta con renombrar cada elemento de A para obtener A = {a0, a1, a2, ..., an-1}. Un isomorfismo es meramente un cambio de apelación. Diremos que un ordinal es finito si cada una de sus partes no vacías tiene un elemento máximo. Por lo tanto todo natural es un ordenal finito. La intuición nos dice que no hay otros ordenales finitos. Lógicamente, diremos que un conjunto ordenado es finito si es isomorfo a un ordinal finito, o sea a un natural.

Para introducir los ordinales infinitos, es preciso dar ahora la definición exacta de un ordinal:

Un conjunto A totalmente ordenado (por la inclusión) es un ordinal si y sólo si cada elemento de A es también un subconjunto de A

Ya vimos que es el caso para los naturales: Por ejemplo, el conjunto 2 = {0, 1} admite 1= {0}, como elemento y por lo tanto también como subconjunto.

Todo conjunto bien ordenado es isomorfo a un ordinal. Esto es obvio en el caso finito, y se muestra por inducción transfinita que lo es en el caso infinito. O sea, renombrando los elementos de un conjunto bien ordenado siempre obtenemos un ordinal.

Primer ordinal infinito[editar · editar fuente]

Ya hemos visto que una unión cualquiera de ordinales es un ordinal. Si tomamos una unión finita de ordinales finitos, fabricamos un ordinal finito. Para obtener el primer ordinal infinito tenemos que reunir un número no finito de ordinales finitos. Haciéndolo, siempre caemos en el mismo conjunto, construido al reunir todos los ordinales finitos, es decir los naturales. El conjunto de todos los naturales, ℕ, es pues el primer ordinal infinito, lo que no debería sorprender, y lo notamos en este contexto ω (omega).

Para visualizar los ordinales, resulta muy práctico representar cada uno por un punto de una sucesión creciente convergente, como por ejemplo un = 1 - 1/(n+1). Esto da algo semejante a:

X__________X_________X_______X______X______X_____X____X___X__X_X_XXX........

Escojamos un punto de la sucesión, y miremos cuantos puntos están más a la izquierda. En el ejemplo, hay cuatro, y por lo tanto se trata de u4, lo que corresponde al ordinal 4. Para representar el ordinal w, resulta natural añadir a la sucesión previa un punto 'O' situado exactamente en el límite de la sucesión:

X__________X_________X_______X______X______X_____X____X___X__X_X_XXX...O

A la izquierda de uw hay una infinidad de puntos, por lo tanto w es infinito. Pero si elegimos a cualquier otro punto de la sucesión a su izquierda, ya no es el caso, lo cual prueba que w es el primer ordinal infinito. Después de w llega w+1, w+2 ... que se representan añadiendo a la derecha uno dos o más puntos, inicialmente distantes, y luego más cercanos entre sí:

X________X________X_______X______X______X_____X____X___X__X_X_XXX...O_______X_____X

El último punto dibujado corresponde a w+2.

Más generalmente, para sumar dos ordinales A y B se cambian los nombres de los elementos para que sean todos distintos, luego se juntan los conjuntos A y B, poniendo B a la derecha de A es decir imponiendo que cada elemento de B sea mayor que todos los de A. Así hemos construido w+1, ... y así podemos construir 1+w: Notemos Y el elemento de 1, y X los de w:

Y__________X__________X_________X_______X______X______X_____X____X___X__X_X_XXX...

Salta a la vista que w y 1+w son muy parecidos. De hecho la función x →x - 1 realiza un isomorfismo entre ellos (1+w tiene dos elementos llamados 0: 0A y 0B. El primero hace el papel de -1 en la función). Por lo tanto corresponden al mismo ordinal: 1+w = w. Mas no es el caso de w+1, que es distinto de w porque su el conjunto

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