La transformada de Laplace

Introducción

Existen muchos métodos para resolver las ecuaciones diferenciales de los circuitos, y es posible que algunos de ellos se acomoden mejor que otros a ciertos análisis ó a ciertas mentalidades. Pero el método de las transformadas de Laplace tiene unas ventajas tan evidentes, y se basa en fundamentos matemáticos tan importantes e interesantes, que es el que usualmente se escoge como método para el análisis y solución de esas ecuaciones. Algunas de las ventajas de este método son:

1. Operacionalmente es sencillo de aplicar, proporciona tanto la solución natural como la forzada, y ayuda a encontrar y emplear correctamente los valores iniciales y finales (condiciones límites) de las soluciones.

2. Se basa en la serie de Fourier y en su transformada, que son imprescindibles en el llamado “análisis del dominio de la frecuencia” y en el “análisis fasorial”, los cuales se emplean en los circuitos de corriente alterna, tanto en el campo de las altas potencias como en el de las comunicaciones y el control.

3. Proporciona la misma “ecuación característica” ó “auxiliar” que usan otros métodos de solución de ecuaciones diferenciales. De modo que los análisis logrados a partir de estos métodos pueden repetirse fácilmente empleando las transformadas.

La transformada de Laplace

Es la más conocida y utilizada de las transformadas integrales. Se ha mostrado de una gran utilidad a la hora de resolver multitud de problemas de la ciencia y tecnología, aplicándose de manera efectiva al estudio de tema fundamentales como teoría de vibraciones, circuitos electrónicos, búsqueda de soluciones de ecuaciones en derivadas parciales, estudio de la conductividad del calor, ecuación de onda, soluciones de problemas de valor de frontera, etc.

Definición:

La transformada de Laplace es un método que transforma una ecuación diferencial en una ecuación algebraica más fácil de resolver.

F(t): una función del tiempo t tal que f(t) = 0 para t<0

S: una variable compleja

L: un símbolo operativo que indica que la cantidad a la que antecede se va a transformar mediante la integral de Laplace.

F(s): transformada de Laplace

La transformada de Laplace se obtiene mediante:

Proposición 1.1:

Si llamamos ∅_a (t)=e^(-at). f (t) entonces la transformada de Laplace de f(x) coincide con la transformada de Fourier compleja de ∅a (t)

En efecto:

∫_0^∞▒〖e^(-st).f(t).dt= ∫_0^∞▒〖e^(-(a+bi).t) f(t).dt= ∫_0^∞▒〖e^(-ibt).e^(-at).f(t).dt=∫_0^∞▒〖e^(-ibt).∅_a (t).dt〗〗〗〗

Proposición 1.2:

Para que exista la transformada de Laplace de una función f(x) es condición suficiente que:

a) f (x) ∈ R, en todo intervalo finito.

b) f (x) sea de orden exponencial, esto es, que existan contantes positivas M, a, x_0 tales que |f(x)|≤M.e^ax,∀ x ≥ x_0

En efecto:

Descompongamos la integral que define la transformación:

∫_0^∞▒〖e^(-st).f(t).dt= ∫_0^(t_0)▒〖e^(-st).f(t).dt+ 〗〗 ∫_(t_0)^∞▒〖e^(-st).f(t).dt 〗

La primera de ambas integrales existe, puesto que f(x) ∈R en todo intervalo finito.

En cuanto a la segunda integral, se tiene que para x>a:

|e^(-st) f(t)|= e^(-xt) |f(t)|≤ e^(-xt).Me^at=M.e^(-(x-a).t),∀ t≥t_0,por tanto

|∫_(t_0)^∞▒〖e^(-st).f(t).dt〗|≤ ∫_(t_0)^∞▒〖|e^(-st) f(t).dt= | ∫_(t_0)^∞▒〖e^(-st) |f(t)|.dt=∫_(t_0)^∞▒〖e^(-xt) |f(t)|.dt≤∫_(t_0)^∞▒〖M.e^(-(x-a).t).dt ≤ ∫_0^∞▒〖〖M.e〗^(-(x-a).t).dt= M/(x-a)〗〗〗〗〗

En definitiva, F(s) = ∫_0^∞▒e^(-st) .f(t).dt converge absolutamente para x>a

Proposición 1.3:

Si la integral ∫_0^∞▒e^(-st) .f(t).dt

Es convergente en s= s_0= x_0+i.y_0 entonces, si para cualquiera que sea el número real positivo k definimos el sector s(k) con vértice en so como el conjunto

s(k)={x+iy/x>x_0,|(y-y_0)/(x-x_0 )|<k}

resulta que la integral

∫_0^∞▒e^(-s_0 t) .f(t).dt

converge uniformemente en s(k).

En efecto:

El teorema quedaría probado se demostramos que para todo s∈s (k), existe algún t_0 tal que si t_2≥t_1≥ t_0 entonces

Propiedades básicas

Suma y Resta

Sean F1(s) y F2(s) las transformadas de Laplace de f1(t) y f2(t) respectivamente. Entonces:

L { f1(t) + f2(t) } = F1(s) + F2(s)

Multiplicación por una constante

Sea k una constante y F(s) la transformada de Laplace de f(t). Entonces:

L { kf(t)} = kF(s)

Diferenciación

Sea F(s) la transformada de Laplace de f(t), y f(0) es el límite de f(t) cuando t tiende a cero. La Transformada de Laplace de la derivada con respecto al tiempo de f(t) es:

L { df(t)/dt} = sF(s) - lim┬(t→0)⁡〖f(t)〗 = sF(s) - f(0)

En general, para las derivadas de orden superior de f(t):

L {dnf(t)/dtn}= sn F(s)- sn-1 f(0)- sn-2 f(1)(0)- …..- f (n-1)(0).

Teorema del Valor Inicial

Si la Transformada de Laplace de f(t) es F(s), entonces:

lim┬(t→0)⁡〖f(t)〗

...