UNIDAD 3.- TRANSFORMADA DE LAPLACE

UNIDAD 3.- TRANSFORMADA DE LAPLACE

3.1.1 Definición de la transformada de Laplace

La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iníciales a la misma ED. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ED es una función seccionada.

Cuando se resuelven ED usando la técnica de la transformada, se cambia una ecuación diferencial en un problema algebraico. La metodología consiste en aplicar la transformada a la ED y posteriormente usar las propiedades de la transformada. El problema de ahora consiste en encontrar una función en la variable independiente tenga una cierta expresión como transformada.

Definición de la Transformada

Sea f una función definida para , la transformada de Laplace de f(t) se define como:

3.1.2.- Condiciones suficientes de existencia para la transformada de Laplace

Condiciones suficientes para la existencia

Si f (t) es continua por tramos en el intervalo y de orden exponencial c para t>T, entonces L {f(t)} existe para s>c.

Demostración

La integral existe, porque se puede expresar como una suma de integrales sobre intervalos en que es continua. Ahora

Cuando s>c. Como converge, la integral converge, de acuerdo con la prueba de comparación para integrales impropias. Esto a su vez, implica que existe para s>c. La existencia de e implica que existe cuando s>c.

3.2.- Transformada directa

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f (t).

Propiedades

Potencia n-ésima

Nota: en la demostración aparece la función Gamma, tener presente esto

Seno

Coseno

Seno hiperbólico

Coseno hiperbólico

Logaritmo natural

Raíz n-ésima

Función de Bessel de primera clase

Función modificada de Bessel de primera clase

Función de error

Derivación

3.3.- Transformada inversa

Una primera propiedad de la trasformada es su continuidad. proposición 7 continuidad de la transformada.

Sea f: [0,+∞) → r una función continua por tramos y de orden exponencial α,

Entonces su transformada de Laplace es continua en (α,+∞).

Existe una importante relación entre las transformadas de una función y de su derivada, cuya importancia radica en el amplio uso que puede hacerse de ella en la resolución de problemas de valores iníciales. de hecho, esta es una de las herramientas más potentes para este tipo de problemas.

Teorema 8 sea f : [0,+∞) → r continua y con derivada continua por tramos que es además de orden exponencial, entonces l[f0(x)] = sl[f(x)] − f(0).

6 la igualdad del teorema 8 admite esta generalización: supongamos ahora que existe f00 y que al igual que f0 en el teorema, es continua por tramos y de orden exponencial, asimismo supongamos que f0 es continua, entonces

l [f00(x)] = sl[f0(x)] − f0(0)

Pero al sustituir l[f0(x)] por su valor, resulta l[f00(x)] = s2l[f(x)] − sf(0) − f0(0)

el razonamiento puede generalizarse, y admitiendo que fn) es continua por tramos, de orden exponencial y que fn−1) es continua, podemos escribir

l[fn)(x)] = snl[f(x)] − sn−1f(0) − sn−2f0(0) − • • • − sfn−2) (0) − fn−1) (0)

Existe, también, una interesante relación entre las transformadas de una función y de sus primitivas

Teorema 9 sea f : [0,+∞) → r continua por tramos y de orden exponencial, entonces l∙z xaf(t)dt¸=1sl[f(x)] −1sz a0f(x)dx.

Dos propiedades relativas a la derivación e integración de transformadas de Laplace son las siguientes.

Teorema 10 sea f : [0,+∞) → r una función continua por tramos, de orden exponencial α y tal que existen l

f (x) x ¸ y r ∞ s f(p)dp siendo f(s) = l[f(x)], entonces z ∞ s f(p)dp = l ∙ f (x) x ¸ teorema 11 sea f : [0,+∞) → r una función continua por tramos y de orden exponencial α, entonces l[f(x)] es derivable para todos > α y se verifica que f0(s) = −l[xf(x)] los siguientes resultados establecen relaciones entre los comportamientos de una función y de su transformada, para valores grandes o pequeños de las variables. 7 proposición 12 sea f : [0,+∞) → r continua por tramos y de orden exponencial, entonces su transformada verifica lim s→∞ f(s) = 0 teorema 13 teorema del valor inicial sea f : [0,+∞) → r continua y con derivada continua por tramos que además es de orden exponencial, entonces lim s→∞ sl[f(x)] = f(0) teorema 14 teorema del valor final sea f : [0,+∞) → r continua y con derivada continua por tramos que además es de orden exponencial α siendo α negativa, entonces lim s→0 sl[f(x)] = lim x→∞ f(x).

3.4°-Propiedades de la Transformada Inversa de Laplace

Similar a la transformada de Laplace, la transformada inversa de Laplace también tiene sus propias propiedades. Algunas de las propiedades más importantes se discuten a continuación:

1. Propiedad de Linealidad: Si L{f(t)} = F(s) y L{g(t)} = G(s), entonces para dos constantes cualesquiera c1 y c2 tenemos,

L-1{c1 f(t) + c2 g(t)} = c1 L-1{f(t)} + c2 L-1{g(t)}

= c1f(t) + c2 g(t)

Esto puede probarse como,

Por la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace conocemos que,

L{c1 f(t) + c2 g(t)} = c1 F(s) +c2 G(s)

Ahora tomando la transformada inversa de Laplace en ambos lados obtenemos,

c1f(t) + c2 g(t) = L-1{c1 F(s) +c2 G(s)}

f(t) = L-1{F(s)} y,

g(t) = L-1{G(s)}

Por tanto, tenemos,

c1 L-1{ F(s)} +c2L-1{G(s)} = L-1{c1 F(s) +c2 G(s)}

En general tenemos,

L-1{c1 F1(s) +c2 F2(s) + … + cnFn(s)} = c1 f1(t) + c2 f2(t) + … + cnfn(t)

Donde, L{fi(t)} = Fi(s), i = 1, 2, … ,n

Se da a continuación un ejemplo que ilustra la propiedad anterior,

Calcula la transformada inversa de Laplace (s2 – 3s + 4)/ s3

Sea,

F(s) = (s2 – 3s + 4)/ s3 = (1/ s) – (3/ s2) + (4/ s3)

Entonces, f(t) = L-1{F(s)}

= L-1(1/ s) – (3/ s2) + (4/ s3)

= L-1(1/ s) +L-1(3/ s2) + L-1(4/ s3)

= L-1(1/ s) + 3L-1{(/ s2)} + 4 L-1(1/ s3)

= 1 – 3t + 4 (t2/ 2!)

= 1 – 3t + 2t2

2. Primer teorema del desplazamiento o traslación: Si L-1{F(s)} = f(t), entonces para cualquier par de constantes (reales o complejos) a,

L{F(s – a)} =eat f(t), s – a > 0

= eat L-1{F(s)}

Esto puede probarse como,

Por la propiedad del Primer teorema del desplazamiento o traslación de la transformada de Laplace conocemos que,

L{eat f(t)} = F(s – a), s – a > 0

Tomando la transformada inversa de Laplace en ambos lados obtenemos,

eat f(t) = L-1{F(s – a)}

o, L-1{F(s – a)} = eat f(t) =eat L-1{F(s)}

Se da a continuación un ejemplo que ilustra la propiedad anterior,

Calcula la transformada inversa de Laplace 1/ (s + a)n+1 n = 0, 1, …

L-1{1/ (s + a)n+1} = L-1{1/ {s - (-a)}n+1}

= e-at L-1(1/sn+1)

= e-at (tn/ n!)

3. Segundo teorema del desplazamiento o traslación:: Si L-1{F(s)} = f(t) entonces,

L-1{e-as F(s)} = f(t – a) u(t – a) ={ f(t – a), t a

{ 0, t < a

3.4.1°-Transformada de Laplace de las funciones definidas a trozos

Una función continua a trozos es aquella que es continua y está dividida en pedazos. Antes de sumergirnos en el concepto primero debemos entender lo que es una función continua y una función a trozos. Una función continua es aquella que no se divide en su gráfico, es decir, se define continuamente a lo largo de todo el dominio de la función. Un ejemplo de tal función sería = y2, esta es la ecuación de una parábola.

Como podemos ver en el gráfico anterior, esta no se rompe.

Y, una función a trozos es aquella que no está definida continuamente, esto es, la gráfica de la función está dividida. Unejemplo de estoseríaunafunciónescalonada. Como podemos observar en la imagen de arriba, la función no es continua. Una función continua a trozoses aquella que combina los dos tipos de funciones. Esta es una combinación muy interesante,porque¿Cómo puede una función ser continua y no continua al mismo tiempo?.El siguiente gráfico haría el concepto claro.

Como se puede observar en el ejemplo anterior, el gráficono es continuo, pero el valor

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