Las variables en la práctica, la realización de estudios estadísticos

DEMANDA y = A + b x

En primer lugar, a partir de las observaciones de P y V suministradas, obtenemos los valores de las dos nuevas magnitudes y = ln(P) y x = ln(V ).

Una forma de organizar los cálculos consiste en crear dos nuevas columnasparax e y, haciendo uso de la funciónlnde nuestra hoja de cálculo, tal y

.

Realizaremos todos los cálculos asociados al ajuste lineal planteado y =A + bxen la hoja de cálculo. Para ello, iremos añadiremos las columnasnecesarias para ir almacenando los cálculos intermedios necesarios (x^2,y^2e y*x) para obtener la recta de m.c. de y|x, y = A + bx.

Seconcluye que

y = 0.0119 − 1.383 x.

El signo de la pendiente de la recta ajustada evidencia la correlación negativa entre x e y, confirmada además por el valor r _ −0.9994 Por su parte, el grado del ajuste lineal a los datos de x e y (no son los datos experimentales originales) es establecido por r2 _ 0.99885, interpretándose que el 99.885% de la variabilidad de y es explicada por x a través del modelo

Lineal ajustado.

Función de demanda

OFERTA)

P = c + dV

Los calculas del nuevo ajuste lineal podrían ser realizados en una nueva

Hoja de cálculo aparte, con objeto de no mezclar los calculas con los del ajuste

Realizado anteriormente. A partir de la Figura 4, el ajuste lineal así obtenido

Establece que P = 3.33776−1.9015V, siendo r2 = 0.829. Aunque la proximidad

Del modelo lineal a los datos es alta, la Figura 3 muestra como a veces la

: Datos observados de la presión (P) y el volumen (V) junto con los

dos modelos ajustados.

proximidad no es suficiente. Observamos que existe una pauta en los datos

que no es recogida por el modelo lineal.

En cualquier caso, a la hora de comparar el modelo lineal y el modelo

potencial, utilizando el criterio del grado de ajuste, los errores t´ıpicos para

Ambos modelos nos proporcionan una herramienta básica a la hora de establecer

Un criterio objetivo. En nuestro caso, se tiene que ǫ (lineal) _ 0.353,

Es decir, un error 10 veces más grande que el error asociado al modelo potencial

Por tanto, el modelo potencial representa con mayor

Precisiónla dependencia de la potencia respecto al volumen en el tipo de gas

Considerado.

a0N + a1ΣX + a2ΣX² + a3ΣX3 = ΣY

a0ΣX + a1ΣX² + a2ΣX3 + a3ΣX4 = ΣXY

a0ΣX² + a1ΣX3 + a2ΣX4 + a3ΣX5 = ΣX²Y

a0ΣX3 + a1ΣX4 + a2ΣX5 + a3ΣX6 = ΣX3Y

MODELO DE UNA PARABOLA

El primer camino, contenido en el libro El método, muestra cómo empleó ideas provenientes de la mecánica

para obtener resultados correctos.

Arquímedes considera el segmento de parábola formado por el arco ABC y el segmento AC ( ver dibujo).

Traza la recta CE que es tangente a la parábola en el punto C. Sea D el punto medio del segmento AC. Hace

pasar por D una recta paralela al eje de la parábola que corta en B a la curva y en E a la tangente. Afirma que

BD es igual a EB y por proporcionalidad en cualquier segmento paralelo a ED se cumple que MN es igual a

NO. Traza la recta CB que prolonga hasta H con la condición de que KH es igual que CK.

La brillante idea de Arquímedes es la siguiente: Se da cuenta (lo demuestra) que HK•OP es igual que

MO•KN, lo que significa, según la ley de la palanca, que si consideramos el segmento HN como una palanca

con el punto K como fulcro y con H y N como platillos, el segmento MO apoyado en N equilibra al segmento

OP apoyado en H. De manera genial (anticipándose en casi veinte siglos a Cavalieri), considera que los

segmentos de la forma MO llenan el triángulo ACF y los segmentos de la forma PO llenan el segmento

parabólico. Por lo tanto el área del triángulo ACF equilibrará al área del segmento parabólico.

La cuestión ahora es que el "platillo" H permanece fijo, mientras que el "platillo" N se desplaza según el

tamaño del segmento MO. Para resolver esta cuestión Arquímedes recurre a un resultado de su libro Sobre el

equilibrio de los planos en el que prueba que el centro de gravedad del triángulo es el punto X de tal manera

que KX = (1/3)CK. De esta manera el área del triángulo apoyado en el platillo X es igual al área del segmento

parabólico apoyado en el platillo H por lo tanto por la ley de la palanca:

KX•( área del triángulo ACF) = HK•( área del segmento parabólico)

Como CK el igual a HK y KX = (1/3)CK tenemos que

(1/3)HK•( área del triángulo ACF) = HK•( área del segmento parabólico)

Se SustituyeA(X1, Y1)=(1,1), B(X2, Y2)=(2,8) y C(X2, Y2)=(3,2) en el polinomio cuadrático:

1 = a0 + a1(1) + a2(1)2

8 = a0 + a1(2) + a2(2)2

2 = a0 + a1(3) + a2(3)2

Obtenemos lo siguiente :a0 + a1 + a2 = 1

a0 + 2a1 +4a2 = 8

a0 + 3a1 + 9a2 = 2

como solución los siguientes coeficientes:

a0 = -19

a1 = 26.5

a2 = -5.5

La fórmula cuadrática que modela exactamente los tres pares de datos es entonces:

P(X) = -19 + 26.5X - 6.5X2

La gráfica de esta fórmula cuadrática:

Modelo exponencial

El modelo exponencial es un modelo demográfico y ecológico para modelizar el crecimiento de las poblaciones y la difusión epidémica de un rasgo entre una población, basado en el crecimiento exponencial.

Descripción del modelo[editar]

Sea P(t) el tamaño de la población al tiempo t, el modelo exponencial presupone que la tasa de aumento de la población es proporcional a la población en el instante:

(1)

Donde k es una constante de proporcionalidad y P es el tamaño de la población en el instante t. Esa ecuación (1) puede resultar adecuada cuando el tamaño de la población es pequeño en relación a las dimensiones del ecosistema, y en ese caso k es la tasa de aumento de la población que iguala a la tasa de natalidad menos la tasa de mortalidad.

Si el tamaño de la población en un instante t0 es P0, el modelo exponencial predice que en cualquier otro instante futuro (t > t0) la población viene dada, por la solución de la ecuación diferencial (1):

Refinamientos del modelo[editar]

Cuando la población cuyo crecimiento pretende ser estudiado mediante el modelo exponencial alcanza un cierto tamaño en relación al ambiente ecológico donde se desarrolla la población, el modelo exponencial puede dejar de ser adecuado porque los factores limitantes del crecimientos como la escasez de recursos reducen la tasa de incremento de la población.

En esos casos resulta adecuado introducir un término que de cuenta de la capacidad del ecosistema para sostener una gran población. El modelo resultante llamado modelo logístico está basado en la curva logística o curva en forma de "S". Este modelo es adecuado para describir el crecimiento de una población de personas tanto como el de bacterias en un cultivo o la forma en que se propaga una epidemia. No obstante, si se toman en cuenta fatores ambientales que reducen la tasa de crecimiento de la población, el tamaño de dicha población x(t) estará limitada a un cierto número máximo de K, tal que:

O sea que la velocidad de crecimiento es proporcional al producto del tamaño de la población x(t) y la diferencia K - x(t):

La solución de esta ecuación diferencial (2) es:

HIPERBOLA

Hipérbola

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos fijos llamados focos es constante.

Componentes de la hipérbola

Focos

Son los puntos fijos F y F'.

Eje focal

Es la recta que pasa por los focos.

Eje secundario o imaginario

Es la mediatriz del segmento .

Centro

Es el punto de intersección de los ejes.

Vértices

Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal.

Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.

Radios vectores

Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'.

Distancia focal

Es el segmento de longitud 2c.

Eje mayor

Es el segmento de longitud 2a.

Eje menor

Es el segmento de longitud 2b.

Ejes de simetría

Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.

Asíntotas

Son las rectas de ecuaciones:

Relación entre los semiejes

Ecuación de la hipérbola

Si el centro de la hipérbola es C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(X0+c, y0) y F'(X0-c, y0). Y la ecuación de la hipérbola será:

Ejemplos

Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

Donde A y B tienen signos opuestos.

...