Los modelos para resolver situaciones concretas

OBJETIVOS GENERALES:

• Utilizar los conceptos y los modelos para resolver situaciones concretas.

• Convencer al estudiante de que en la Física y la Ingeniería se trabaja con modelos simplificados de la realidad.

• Enunciar explícitamente los límites de validez de toda afirmación, ley o fórmula Física.

• Integrar los métodos adquiridos en los cursos de matemática en la formalización y la resolución de los diferentes problemas

• Observar movimientos oscilatorios y refracción de una onda

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

• Adquirir una introducción equilibrada a los conceptos y fenómenos más importantes vinculados con las vibraciones y los fenómenos de propagación y, al mismo tiempo, proporcionar una base sólida para los estudios superiores.

• Comprender los aspectos comunes del movimiento vibratorio en los diferentes dominios de la Física y la Tecnología.

• Analizar fenómenos relacionados con las vibraciones, las ondas y su propagación.

• Utilizar modos normales para describir vibraciones de estructuras.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

En la vida cotidiana estamos rodeados de multitud de fenómenos ondulatorios: las vibraciones de las cuerdas de la guitarra, la propagación de las olas sobre la superficie del agua, las ondas sísmicas que se producen durante un terremoto, la interferencia de dos sonidos, las vibraciones de las cuerdas vocales, etc. Los fenómenos ondulatorios mencionados se componen de oscilaciones elementales, realizadas por las partículas del medio. Estas oscilaciones se transmiten de partícula a partícula y se propagan en el espacio en forma de ondas materiales.

Para la demostración de este movimiento es necesario realizar un dispositivo en el cual se tenga que hacer el movimiento de oscilación y a su vez una onda que se propaga de un punto a otro.

FUNDAMENTOS TEORICOS

OSCILACION

Se denomina oscilación a una variación, perturbación o fluctuación en el tiempo de un medio o sistema. Si el fenómeno se repite, se habla de oscilación periódica.

Oscilación, en física, química e ingeniería es el movimiento repetido de un lado a otro en torno a una posición central, o posición de equilibrio. El recorrido que consiste en ir desde una posición extrema a la otra y volver a la primera, pasando dos veces por la posición central, se denomina ciclo. El número de ciclos por segundo, o hercios (Hz), se conoce como frecuencia de la oscilación empleada en el MAS (Movimiento Armónico Simple).

Una oscilación en un medio material es lo que crea el sonido. Una oscilación en una corriente eléctrica crea una onda electromagnética.

Tipos de oscilación

• Oscilación libre

• Oscilación amortiguada

• Oscilación autosostenida

• Oscilación forzada

• Resonancia

Movimiento armónico simple

El movimiento armónico simple (m.a.s.), también denominado movi-miento vibratorio armónico simple (m.v.a.s.), es un movimiento periodico, y vibratorio en ausencia de fricción, producido por la acción de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional a la posición. Y que queda descrito en función del tiempo por una función senoidal (seno o coseno). Si la

descripción de un movimiento requiriese más de una función armónica, en general sería un movimiento armónico, pero no un m.a.s.

En el caso de que la trayectoria sea rectilínea, la partícula que realiza un m.a.s. oscila alejándose y acercándose de un punto, situado en el centro de su trayectoria, de tal manera que su posición en función del tiempo con respecto a ese punto es una sinusoide. En este movimiento, la fuerza que actúa sobre la partícula es proporcional a su desplazamiento respecto a di-cho punto y dirigida hacia éste.

Mecánica clásica

Cinemática del movimiento armónico simple

El movimiento armónico simple es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila de un lado al otro de su posición de equilibrio, en una dirección determinada, y en intervalos iguales de tiempo.

Por ejemplo, es el caso de un cuerpo colgado de un muelle oscilando arriba y abajo. El objeto oscila alrededor de la posición de equilibrio cuando se le separa de ella y se le deja en libertad. En este caso el cuerpo sube y baja.

Es también, el movimiento que realiza cada uno de los puntos de la cuerda de una guitarra cuando esta entra en vibración; pero, pongamos atención, no es el movimiento de la cuerda, sino el movimiento individual de cada uno de los puntos que podemos definir en la cuerda. El movimiento de la cuerda, un movimiento ondulatorio, es el resultado del movimiento global y simultáneo de todos los puntos de la cuerda.

Respecto a su posición de equilibrio. En un desplazamiento a lo largo del eje Ox, tomando el origen O en la posición de equilibrio, esta fuerza es tal que donde k, es una constante positiva y x, es la elongación. El signo negativo indica que en todo momento la fuerza que actúa sobre la partícula está dirigida hacía la posición de equilibrio; esto es, en dirección contraria a su elongación (la "atrae" hacia la posición de equilibrio). Aplicando la segunda ley de Newton, el movimiento armónico simple se define entonces en una dimensión mediante la ecuación diferencial

Siendo m, la masa del cuerpo en desplazamiento. Escribiendo se obtiene la siguiente ecuación donde \omega es la frecuencia angular del movimiento:

La solución de la ecuación diferencial (2) puede escribirse en la forma

(

donde:

Es la elongación o desplazamiento respecto al punto de equilibrio.

Es la amplitud del movimiento (elongación máxima).

Es la frecuencia angular

Es el tiempo.

Es la fase inicial e indica el estado de oscilación o vibración (o fase) en el instante t = 0 de la partícula que oscila.

Además, la frecuencia de oscilación puede escribirse como esto:

y por lo tanto el periodo como

La velocidad y aceleración de la partícula pueden obtenerse derivando respecto del tiempo la expresión

Velocidad

La velocidad instantánea de un punto material que ejecuta un movimiento armónico simple se obtiene por lo tanto derivando la posición respecto al tiempo:

Aceleración

La aceleración es la variación de la velocidad del movimiento respecto al tiempo de espera y se obtiene por lo tanto derivado la ecuación de la velocidad respecto al tiempo de encuentro:

Amplitud y fase inicial

La amplitud y la fase inicial , se pueden calcular a partir de las condiciones iniciales del movimiento, esto es de los valores de la elongación y de la velocidad iniciales.

Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones (7) y (8) obtenemos

Dividiendo miembro a miembro las dos ecuaciones (7) y (8) obtenemos

Dinámica del movimiento armónico simple

En el movimiento armónico simple la fuerza que actúa sobre el móvil es directamente proporcional:

Un ejemplo sería el que realiza un objeto unido al extremo un muelle, en ese caso k sería la constante de elasticidad del muelle. Aplicando la segunda ley de newton tendríamos:

Comparando esta ecuación y la que teníamos para la aceleración (6) se deduce:

Esta ecuación nos permite expresar el periodo (T) del movimiento armónico simple en función de la masa de la partícula y de la constante elástica de la fuerza que actúa sobre ella:

Energía del movimiento armónico simple

Las fuerzas involucradas en un movimiento armónico simple son centrales y, por tanto, conservativas. En consecuencia, se puede definir un campo escalar llamado energía potencial (Ep) asociado a la fuerza. Para hallar la expresión de la energía potencial, basta con integrar la expresión de la fuerza (esto es extensible a todas las fuerzas conservativas) y cambiarla de signo, obteniéndose:

La energía potencial alcanza su máximo en los extremos de la trayectoria y tiene valor nulo (cero) en el punto x = 0, es decir el punto de equilibrio.

La energía cinética cambiará a lo largo de las oscilaciones pues lo hace la velocidad:

La energía cinética es nula en -A o +A (v=0) y el valor máximo se alcanza en el punto de equilibrio (máxima velocidad Aω).

Como sólo actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica (suma de la energía cinética y potencial) permanece constante.

Finalmente, al ser la energía mecánica constante, puede calcularse fácilmente considerando los casos en los que la velocidad de la partícula es nula y por lo tanto la energía potencial es máxima, es decir, en los puntos x = -A y x = A. Se obtiene entonces que,

O también cuando la velocidad de la partícula es máxima y la energía potencial nula, en el punto de equilibrio x = 0

Oscilador armónico

Se dice que un sistema cualquiera, mecánico,

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